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复数和复平面,第一章,1.1 复 数,1. 复数的概念,形如 或 的数称为复数。,a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作,i称为虚单位,即满足,当且仅当虚部b=0时,z=a是实数; 当且仅当a=b=0时,z就是实数0; 当虚部b0时,z叫做虚数; 当实部a=0且虚部b0时,z=ib称为纯虚数.,全体复数的集合称为复数集,用C表示.,实数集R是复数集C的真子集.,如果两个复数的实部和虚部分别相等,称这两个复数相等.,2. 复数的向量表示和复平面,复数可用点z(a,b)表示,用直角坐标系表示的复数的平面称为复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.,实轴上的点表示实数;除了原点外,虚轴上的点表示纯虚数.,当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.,任一实数的共轭复数仍是它本身.,在复平面上,复数 还可以用由原点引向点z的向量 来表示,这种表示方式建立了复数集C与平面向量 所成的集合的一一对应(实数0与零向量对应).向量 的长度称为复数z的模,记为 |z|或r .,3. 复数的运算,加法,减法,复数的运算,有关复数的模和共轭 复数的性质,4. 复数的三角表示 和复数的方根,复平面C的不为零的点,极坐标,是正实轴与从原点O到z的射线的夹角,称为复数z的幅角,记为,满足条件 的幅角称为Argz的主值,记为=argz,于是有=argz=argz+2k, k=0,1,2,.,复数的三角表示,z=r(cos+isin),复数的指数形式,例1.1 求arg(-3-i4).,解: Arg(-3-i4)= arg(-3-i4)+2k, k=0,1,2,.,点-3-i4位于第四象限,k=0,1,2,.,例1.2 计算,解:,例1.3 把复数 表示成三角形式和指数形式.,解:,对应的点在第一象限,复数乘法的几何意义,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的幅角等于这两个复数的幅角的和.,两个复数的商的模等于它们模的商,商的幅角等于被除数的幅角与除数的幅角的差.,复数的乘方,r=1时,得棣莫拂(de Moivre)公式,复数的开方,设是 已知的复数,n为正整数,则称满足方程 的所有的复数为z的n次方根,并且记为 .,设,k=0,1,2,n-1,k=0,1,2,n-1,复数的n次方根是n个复数,这些方根的模都等于这个复数的模的n次算术根,它们的幅角分别等于这个复数的幅角与的0,1,2,n-1倍的和的n分之一。,例1.4 求1-i的立方根.,解:,1-i的立方根是,例1.5 计算n次单位根.,解:,立方单位根是,1.2 复平面点集,1. 平面点集的几个概念,(1) 邻域,集合 称为z0的邻域,其中0, 称为z0的去心邻域.,(2)内点、开集,若点集E的点z0,有一个z0的邻域 ,则称z0为E的一个内点;如果点集E中的点全为内点,则称E为开集.,(3)边界点、边界,如果点z0的任意邻域内,既有属于E中的点,又有不属于E中的点,则称z0为E的边界点;集合E所有边界点称为E的边界,记作E .,(4)区域,如果集E内的任何两点可以用包含在E内的一条折线连接起来,则称集E为连通集. 连通的开集称为区域.,区域D和它的边界D的并集称为闭区域,记为,(5)有界区域,如果存在正数M,使得对一切zE,有 则称E为有界集.若区域D有界,则称为有界区域.,(6)简单曲线、光滑曲线,设x(t)和y(t)是实变量t的两个实函数,它们在闭区间,上连续,则由方程组 或由复值函数 定义的集合称为复平面上的一条曲线,上述方程称为曲线的参数方程.点A=z() 和B=z()分别称为曲线的起点和终点.如果当 时,有 ,称曲线为简单曲线,也称为约当(Jordan)曲线. 的简单曲线称为简单闭曲线.,定理1.1 一条闭简单曲线将平面分成两个不相交的区域,以曲线为公共边界.,这两个区域,一个是有界的,称为的内部;一个是无界的,称为的外部.,如果曲线在 上有 和 存在、连续,而且不同时为零,则称曲线为光滑曲线.由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线,称为分段光滑的曲线.,(7)单连通区域,设D为复平面上的区域,如果在D内的任意简单曲线的内部均属于D,则称D为单连通区域,否则就称为多连通区域.,2.直线和半平面,设L表示C中的直线,如果a是L上的任一点,b是它的方向向量,那么,对于L上的z,有,假定|b|=1,a=0.,于是 ,当且仅当 即 .,如果 “按照b的方向沿着L前进”,H0是位于L的左边的半平面.,Ha是由半平面H0平移a而得到的,因此,Ha是位于L的左边的半平面.,是位于L的右边的半平面.,1.3 扩充复平面及其球面表示,设a是异于的一个复数,规定 (1) ,则 ; (2) ,则 ; (3) ,则 ; (4) ,则 ; (5) 的实部、虚部、幅角都无意义; (6)为了避免和算术定律相矛盾,对 不规定其意义.,设想平面上有一个理想点和它对应.这个理想点称为无穷远点.复平面加上,称为扩充复平面C=C.为使的规定合理,规定扩充复平面上只有一个无穷远点.,记R3中的单位球面为,N=(0,0,1)为S上的北极点, 把C等同于R3中的点集 R,对于复平面C内任意一点z,用直线将z与北极点N相连接,此直线与球面S恰好交于一点ZN.,若|z|1,Z位于北半球面上; 若|z|1,Z点位于南半球面上; 若|z|=1,那么Z=z. 当|z|时,ZN.,
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