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1,第三章 刚体力学 4学时,一、刚体运动分类及动力学方程,外力作用下物体各部分之间相对距离保持不变,刚体的运动分为两类:,平动刚体运动时各个时刻,其上任意一条直线始终彼此平行,特点:其上任意一点的运动可代表全体质点,转动刚体运动时其上所有质点均绕某一直线沿圆形路径运动,特点:其上各点的速度一般不同不能看成一个质点,刚体,2,更一般的情况平动与转动兼而有之 可证明刚体的,一般运动,1、对定轴转动问题,分解成:o点的平动+各点绕o点的转动,2、转轴有平动的问题,质心的平动+ 各点绕质心的转动,其上任一点的平动,+其它各点绕那点的转动,3,可以证明:不论刚体做如何复杂的运动,其质心那一点的运动由,分别为质心点的加速度、速度、位置矢量,质心运动定律,一般运动其上任一点平动+其它各点绕 那点 的转动,4,关于质心,推广到n质点系,两质点系,6,上章曾给出一个角动量定理(质点系),质点组,一般运动其上任一点平动+其它各点绕 那点 的转动,对任何惯性系成立,对定点和质心成立,不论运动与否,重点刚体的定轴转动,7,二、定轴转动,1、定轴转动的转动定理,定轴转动特点:,规定:角速度的方向与刚体的转动方向成右手螺旋关系,3所有质点d/dt=一样,刚体上所有质点的角速度相等,2 dS/dt=v各不同,1转轴方位始终不变,8,定轴转动轴上一点的平动+绕轴的转动,9,这相当于,FM,PLz,m(?),即,惯性质量,转动惯量,10,质量元mi对o点的角动量,投影到z方向:,刚体的总角动量取z分量,2、转动惯量,转动惯量,11,下面求几个简单问题中的转动惯量,mi :刚体上第i 个质点的质量,Ri:第i个质点到转轴的垂直距离,例:,转动惯量与轴的位置有关,转动惯量与质量分布有关,定轴转动问题中的转动定理,12,13,均匀细杆绕z轴的转动惯量。质量m,长度L=a+b,b,特别:,1、当 a=b=L/2,2、当a=0,b=L,14,竿子长些还是短些安全?,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘?,转动惯量的大小取决于刚体的质量、分布及转轴的位置,转动惯量、转动定律实际例子:,例1:,15,16,平行轴定理与正交轴定理,1、平行轴定理,2、正交轴定理,17,18,一维运动,定轴转动,定轴转动情况下的转动定理,19,例:求装置中的加速度,1、画三个物体的受力图,2、标定各物体的加速度方向,3、列运动方程,对滑轮用转动定理,4、找“约束关系”,假定绳子在滑轮上不打滑,则a与之间有关系约束关系,20,约束关系绳子的速度=m1 ,m2的速度=轮边缘点的速度,由(1)(4)解出,21,例:将杆由=600静止释放。 1)求任意处杆的角加速度?,由转动定理,对o点,c,2)求任意处杆的角速度 ?,由定义,22,3)求任意处杆质心的速度 和加速度,任意处,问:求任意处杆端点的速度和加速度?,质心做半径为L/2的圆周运动,23,4)求水平瞬间杆的,24,5)求杆水平瞬间杆施加于轴点处的力?,此时转动定理已不便使用?,可应用质心运动定理,由,支点对杆的力,力的方向?,由牛顿第三定律杆对支点的力,力的方向?,25,三、定轴转动的角动量定理及角动量守恒定理,由转动定理,有,定轴转动的角动量定理,力矩在时间t内的冲量矩,力矩的时间累积效应是使刚体的角动量发生变化,特别:当Mz=0时有Lz=恒量,定轴转动的角动量守恒定理,积分形式,微分形式,26,瞬时关系,涉及t = t +dt 一段无限小时间间隔,涉及0 t 一段时间间隔,27,(1)对单一刚体,当Mz=0时有Lz=J=恒量,J一定时则=恒量,J变化时成反比变化,例如:光滑桌面上杆的定轴转动,对z轴,桌面的支撑力,重力不产生力矩,设轴处光滑(无摩擦力矩)所以Mz=0Lz=J=恒量,J不变也不变,但若桌面粗糙有摩擦,摩擦力对o点的力矩将使杆的Lz发生变化 发生变化,28,z,设t=0时=0 求,t 时刻的角速度?或,角速度变为0时的时间t ?,由角动量定理,即,或,?,29,你会求下列问题吗?,杆与桌面之间的摩擦系数均为。,绕杆的中点旋转,绕杆上的任意一点旋转,桌面上均匀薄圆盘绕中心轴旋转,设开始的转动角速度为0,求当刚体静止下来时所经历的时间,30,(2)系统由两部分组成,由M=0有Lz=恒量,没有合外力矩使得系统的总角动量不变,但由于内力矩的存在会导致各个部分的角动量发生变化,31,例:刚体-刚体 工程上常用摩擦啮合器使两飞轮的转速达到一致。两轮同轴。,开始12,现将两者靠拢。在啮合器之间的摩擦力f 的力矩作用下使两者转速达到一致设为.求,A,B,32,设两者对轴的转动惯量分别为J1, J2 。+z沿轴向右,接触前:,达到同速后:,令两者相等:,这里有一个符号问题应注意。若接触前两转轮转动方向如图,33,又问:在啮合期间0t A轮受到的冲量矩多大?,以A为对象:由定义:该时间内A受到的冲量矩为,由角冲量定理:,又由内力矩之合为0,?,34,此时系统对z轴的角动量:,是什么意义?,人对盘的角速度,相对地面的角速度,-,人对地的角速度如何?,例:刚体-质点 水平转台轴光滑。开始时盘连人对地以0匀速转动,若人垂直半径相对盘以v沿与盘转向相反的方向做圆运动,求此后盘对地的角速度,盘,人,35,设盘由0;人由0 ,人走动后:,系统角动量守恒,盘,人,/,/,/,36,例质点-质点 两个质量为m的小球用长为l的轻杆连接起来,放在光滑水平桌面上。给其中一球以垂直与杆方向的速度v0,求此系统的运动规律和杆中张力的大小?,质心点做匀速直线运动,两球绕质心做匀速圆周运动,37,四、刚体定轴转动的功和能,第i个质点的动能,整个刚体的总动能,再看使之转动的力的功,38,设力F在与z轴平行的平面内。在力的作用下,力的作用点位移,该微小过程中力F的元功dA,由动能定理:,z,定轴转动的动能定理,39,定轴转动的动能定理,若外力F为保守力,可以引入与之相关的势能函数Ep 使,则有定轴转动的机械能守恒定理,由平行轴定理,所以定轴转动刚体的机械能可写为,40,质心平动动能,绕质心的转动动能,绕定轴的转动动能,定轴转动的刚体在只有重力势能情况下的机械能有两种表示方法,41,例质点-质点 两个质量为m的小球用长为l的轻杆连接起来,放在光滑水平桌面上。给其中一球以垂直与杆方向的速度v0,求此系统的运动规律和杆中张力的大小?,质心点做匀速直线运动,两球绕质心做匀速圆周运动,若m为两滑冰运动员,现两人同时收拢细杆,当两者之间距离变为 l / 2 时各自的角速度变为多少?每个人在缩短距离时所做的功?,单个人对质心的转动惯量,已考虑到知质心的平动动能并未发生变化,在一切惯性系中成立,对两质点系统用动能定理,42,例:杆由水平以静止下摆到垂直瞬间与飞来的小球相碰,碰后以球v反弹。求碰后瞬间杆的角速度?,过程1:下摆过程机械能守恒,水平瞬间:,与小球碰撞前瞬间:,43,碰撞前瞬间:,以垂直纸面向外为+z的方向,碰撞后瞬间:,令,-,杆在与球碰撞前瞬间,过程2:杆球碰撞,相撞前后瞬间球与杆的总动量守恒吗?,相撞前后瞬间球与杆的总动能守恒吗?,条件,条件,-,热、声能,若为“完全弹性碰撞”相碰撞前后瞬间系统的动能守恒,碰撞前后对支点有角动量守恒,44,五、回转运动,一、什么是回转运动,现假设有一均匀、对称的物体以很大的角速度旋转。我们要问:,1 如果该物体不受外力矩的作用,情况如何?,惯性运动1转轴的方向将保持不变 2角速度大小方向保持不变,2 如果该物体受外力矩的作用,情况如何?,1仍绕对称轴快速旋转 2对称轴绕竖直轴旋转起来 3自转方向反向时轴的旋转方向也反4即使=90也不会倾倒,“进动”,胡-玩具陀螺的进动,45,则 的作用不改变 的大小只改变其方向,当,二、回转运动的简单分析,46,设进动角速度大小为,可以证明1,p与无关,,2,力矩 的方向不依赖 及 的方向,故,方向,3自旋角动量 方向反向, 必然跟着反向,4即使=/2飞轮也不会倒下,近似结果,p 时成立,47,回转效应在技术上有着广泛的应用,如鱼雷、火箭、导弹上的自动导航装置 列车、轮船上的稳定器,如地球除了绕自身轴旋转外就有进动 进动周期为26000年,进动虽然是一个古老的学科,但小到微观领域大到天体运动的研究,从小孩玩的陀螺到许多现代尖端技术都找得到进动现象的应用,微观领域:研究原子、分子、电子等微观粒子的运动 大范围内:天 体运动的研究,48,求达到稳定状态时两者的角速度,角动量守恒,故有,稳定状态时,1左右两边都应是”相对于同一点而言”等式才成立,2左边或右边如果不止一项,则每一项也都应是”相对于同一点而言”等式才成立,设达到稳态所用的时间为t,-,选定某一点如c1点,有系统的总角动量守恒吗?如不!又是为什么?,*讨论题,
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