一.泰勒级数 二.求解析函数的泰勒展式,第二节 泰勒级数,上一节我们知道幂级数的和函数在收敛圆内是解析的，现在我们研究与此相反的问题，就是一个解析函数是否可以表示成幂级数,一、泰勒级数,定理1 设在区域D内解析， ，R为 到D的边界上各点的最短距离，则当 时， , (13.2) 其中 ,(13.2)式右边的级数称为 在 的泰勒级数，(13.2)式称为 在 的泰勒展式,由于解析函数 在 处的幂级数表达式唯一，因此我们不仅可通过计算 来求 在 处的幂级数表达式，也可利用幂级数的代数运算、分析运算等性质来求 的相应幂级数展开式,例求 在 的泰勒级数,解：,因 ，故 ，于是 ， 代入(13.2), 得 因为 在复平面内处处解析，所以上式在复平面内处处成立，即上述级数的收敛半径为 ,用类似的方法可得：,例 求 在 处的泰勒级数,解：,由幂级数的代运算性质可得 将上述两式相减，可得,例将 展成 的幂级数,在复平面内，除 及其左边负实轴上的点外 是解析的，而 是它距 最近的一个奇点，所以它在 内可以展开成 的幂级数。又 在圆域 内作一条从0到z的曲线C，上式两端沿曲线C逐项积分，得 即,解：,