第七章 空间解析几何与向量代数,平面解析几何中用直角坐标或极坐标建立了平面内 的点与一组有序数的联系. 我们引进空间直角坐标系来建立空间中点与一组有 序数的联系. 过空间一个定点o,作三条互相垂直的数轴x轴、y轴 z 轴,统称坐标轴.它们的正向符合右手法则. 点o称为坐标原点,三个坐标轴将空间分成八个卦限., 1.空间直角坐标系,1.空间直角坐标系,设M为空间一个已知点,过M点作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴的交点依此为P 、Q 、R,这三点在坐标 上的坐标分别为x 、y 、z.这组数x 、y 、z称为M的坐标, 记为M(x,y,z)这样就建立了M与有序数组(x,y,z)之间 的一一对应关系.,2.轴的平移 设有一空间直角坐标系0-xyz，将它平移到一新的坐 标系0-xyz，点o在0-xyz中的坐标为x0,y0,z0。 设空间一点M在0-xyz中的坐标为(x,y,z),而在0-xyz 中的坐标为(x,y,z)，则它们之间有如下关系。,设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两个点，利用轴的平移,易得，两点间的距离公式,模为1 的向量称为单位向量。 模为0 的向量称为零向量，零向量的方向是任意的。,由于向量是由大小和方向所决定的，在数学上只研究与始点和终点无关的向量，这种向量称为自由向量。,4)两个向量的夹角,3)自由向量,先定义空间一点P在数轴u上的投影。 已知空间一点P及一数轴u，过P点作与u轴垂直的平面，那末平面与数轴u的交点a称为点P在轴u上的投影。,数轴u称为投影轴。投影是数量而不是向量。 关于向量的投影，有下面投影定理。,5)向量在轴上的投影,2.向量的各种运算,1)向量的加法,三角形法则,向量的和符合平行四边形法则,2)向量的减法,向量的加法满足:,3)数量与向量的乘法,数量与向量的乘法满足：,点积的运算性质,点积满足,5)向量与向量的向量积(又称为叉积),由向量积定义知,例1.证明菱形的对角线互相垂直。,6)向量的混合积, 3. 向量的坐标及向量各种运算的坐标表达式：,1. 向量的坐标,为了进一步研究向量与数量之间的联系需建立向量与有序数组之间的对应关系.,2.向量的模与方向余弦的坐标表达式,3.向量各种运算的坐标表达式, 4. 曲面与空间曲线,1.曲面方程,1)空间曲面的一般方程,例1.建立球心在点M0(x0,y0,z0),半径为R的球面方程,例2.一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求动点的 轨迹方程,设一个不含z的方程 f (x,y)=0，在xoy面上为一条曲线， 在空间即为一个曲面方程，xoy面上的曲线称为准线， 平行于z轴的直线称为母线，此曲面方程称为母线平 行于z轴的柱面方程。,2）母线平行于坐标轴的柱面方程,旋转曲面的方程为,3）旋转曲面方程,设在yoz平面内有一曲线c: f (y,z)=0,把这条曲线绕z 轴旋转一周，求此旋转曲面的方程。,2）空间曲线的参数方程,1)空间曲线的一般方程 空间曲线可看成两张空间曲面的交线,2.空间曲线方程,例4.将曲线的一般方程化为参数方程,例5.空间动点M(x,y,z)在圆柱面 上以匀角速度 绕z轴旋转，同时又以匀速度v沿平行于z轴的方向上 升，动点的轨迹称为螺旋线，求螺旋线的参数方程。,3）空间曲线在坐标面上 的投影曲线,H(x,y)=0 (2) 方程(2)称为曲线关于xoy面的投影柱面方程，显见，曲线均在投影柱面上。,从方程组(1)中消去z得到方程,例7.把曲线的方程换成母线平行于x轴与z轴的柱面的交线方程。,1. 平面的方程,1）平面的点法式方程,5. 平面与直线,2）平面的一般式方程,3）平面的截距式方程,2. 两平面的夹角,3。点到平面的距离,4. 直线的方程,1）直线的点向式方程,2）直线的一般式方程,3）直线的参数式方程,5. 直线与平面的夹角,6. 直线与平面的交点,7. 平面束,6. 二次曲面,与平面解析几何中，二次曲线相类似，我们把三元二次方程表示的曲面称为二次曲面。,二次曲面的一般形式,研究二次曲面的一般方法称为截痕法。几类特殊的二次曲面。,第七章 重点练习题,3.利用向量代数证明：三角形两边上 中点的连线平行于第三边且等于第三 边的一半。,