例,解,例如,例4.,在点 x=0 连续性和可导性.,解：,( n N ),又, 当 nN 时，函数在在点 x=0 处连续.,例5.已知 y=,a+bx, x0,在x=0可导，求a, b之值.,e-x, x0,解： f (x)在 x=0 可导， f (x)在 x = 0连续，f (0) = a,又,从而,f (x)=,1+bx, x0,e-x, x0,f (0)=1,故 a=1.,由可导性：,故 b = 1， 此时函数为,此时，,f (x) =,1x, x 0,ex, x 0,2. 设,存在 , 则,3. 已知,则,4. 若,时, 恒有,问,是否在,可导?,解:,由题设,由夹逼准则,故,在,可导, 且,5. 设, 问 a 取何值时,在,都存在 , 并求出,解:,故,时,此时,在,都存在,显然该函数在 x = 0 连续 .,备用题,解: 因为,1. 设,存在, 且,求,所以,在,处连续, 且,存在，,证明:,在,处可导.,证：因为,存在，,则有,所以,即,在,处可导.,2. 设,故,例2,解,同理可得,例3,解,特别地,四、双曲函数与反双曲函数的导数,例5. 设,求,解:,思考: 若,存在 , 如何求,的导数?,练习: 设,例6. 设,解:,2. 设,其中,在,因,故,正确解法:,时, 下列做法是否正确?,在求,处连续,4. 设,求,解: 方法1 利用导数定义.,方法2 利用求导公式.,例7.,求,解:,例8.,设,解:,求,例9.,求,解:,关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导,例10. 设,求,解:,备用题 1. 设,解：,2 . 设,解:,求,3 高阶导数的运算法则,公式（3）称为莱布尼兹公式,例6,解,3 间接法,几个初等函数的高阶导数,利用已知的高阶导数公式, 通过四则,运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.,例7,解,例. 设,求使,存在的最高,分析:,但是,不存在 .,2,又,阶数,例2,解,例3,解,等式两边取对数得,例4,解,等式两边取对数得,例6,解,所求切线方程为,例7,解,注1：,注2：,注3：,三 可微与可导关系,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,注1：,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分,导数,注3：导数与微分的区别,例1,解,例2,解,解2,例3,解1,微分形式的不变性,例4,解1,解2,例5,解1,解2,例6,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,五、 微分在近似计算中的应用,当,很小时,使用原则:,得近似等式:,的近似值 .,解: 设,取,则,例4. 求,的近似值 .,解:,例5. 计算,例6. 有一批半径为1cm 的球 ,为了提高球面的光洁度,解: 已知球体体积为,镀铜体积为 V 在,时体积的增量,因此每只球需用铜约为,( g ),用铜多少克 .,估计一下, 每只球需,要镀上一层铜 ,厚度定为 0.01cm ,2.,5. 设,由方程,确定,解:,方程两边求微分,得,当,时,由上式得,求,则,求 导 法 则,基本公式,导 数,高阶导数,高阶微分,一、主要内容,1、导数的定义,定义,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,思考题,思考题解答,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,3、求导法则,(1) 函数的和、差、积、商的求导法则,(2) 反函数的求导法则,(3) 复合函数的求导法则,(4) 对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5) 隐函数求导法则,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,(6) 参变量函数的求导法则,4、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),5、微分的定义,定义,(微分的实质),6、导数与微分的关系,定理,7、 微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,基本初等函数的微分公式,函数和、差、积、商的微分法则,8、 微分的基本法则,微分形式的不变性,由定义知:,思考题,思考题解答,说法不对.,从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.,二、典型例题,例1,解,例2,解,例3,解,分析:,不能用公式求导.,例4,解,两边取对数,例5,解,先去掉绝对值,例16,解,思考题,思考题解答,正确的选择是（3）,例,在 处不可导，,取,在 处可导，,在 处不可导，,取,在 处可导，,在 处可导，,例6,解,例.设,在,处连续,且,求,解:,思考题,思考题解答,可导,不一定存在,故用定义求,例,若,且,存在 , 求,解:,原式 =,且,联想到凑导数的定义式,例7,解,测 验 题,测验题答案,例1.设,存在,求,解:,原式=,