第四章 不定积分,42 不定积分换元积分法,42 不定积分换元积分法,一、第一类换元法,二、第二类换元法,三、积分公式小结,一、第一类换元法,引例：求,分析：若直接应用积分基本公式,得,容易验证是错误的。,因为,所以,sin u C sin 2x C ,例2,例1, ln |u| C ln |cos x| C ,例4,例3,例5,熟练之后，不必再写出变量代换,例6,例7,例8,例9,例10,含三角函数的积分：,例11,例12,例13,例14,ln |csc x cot x |C ,ln |sec x tan x | C ,例15,例16,例17,二、第二类换元法,定理2 设x j(t)是单调、可导函数，并且j (t)0又设 f j(t)j(t)具有原函数F(t)，则有换元公式,其中t =j-1(x)是xj(t)的反函数,=F(t)+C,= Fj-1(x) +C,用第二类换元法求不定积分,的步骤是：,然后求积分,令x=j(t)，则有,最后将t =j-1(x)代入f j(t)j(t) 的原函数中,第二类换元法用于求特殊类型的不定积分,那么,解, a cos t ，,于是,dx a cos t d t ，,所以,例18,解法一：,那么,a sec t ，,dxa sec 2t d t ，于是,因为,其中C 1Cln a ,所以,例19,解法二：,设xa sh t ，那么 dx a ch t d t ，,于是,a ch t ，,其中C 1Cln a ,例20,解,a tan t ，,于是,其中C 1Cln a , ln |sec t tan t |C ,所以,那么,例21,当xa，于是,其中C 1C2ln a ,综合起来有,三、积分公式小结,(k是常数)，,(m -1)，,补充公式：,ln |cos x|C ，, ln |sin x| C ，, ln |sec x tg x | C ，, ln |csc x ctg x | C ，,练习题4.2 1、（2）（4）（6）（8）； 3、（1）（3）（5）（7）； 5、（2）（6）（11）,作业：P79,