第五章 定积分,第二节 微积分基本公式,引 言,积分学要解决两个问题:,第一个问题是原函数的求,法问题,我们在第4章已经对它做了讨论;,第二个问,题就是定积分的计算问题.,如果我们要按定积分的,定义来计算定积分,那将是十分困难的.,因此,一种计算定积分的有效方法,键.,我们知道,不定积分作为原函数的概念与定积分,作为积分和的极限的概念,寻求,但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个,概念之间存在着的深刻的内在联系,即所谓的”微,便成为积分学发展的关,是完全不相干的两个概念.,引 言,但是,牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个,概念之间存在着的深刻的内在联系,即所谓的”微,并由此巧妙地开辟了求定积分的,微分学一起构成变量数学的基础学科,学.,牛顿和莱布尼茨也因此作为微积分学的奠基,人而载入史册.,积分基本定理”,新途径,从而使积分学与,-微积分,积分上限函数,定义,为,上的变量,则,称其为积分上限,函数.,几何意义 :,注:,注意等式左边作为积分变量的,与作为积分上限,的区别.,积分上限函数的导数,定义积分上限,函数,(1),求,补充,讨论,例1,解,求,例2,解,求,例3,解,试求以下各函数的导数.,(1),(2),(2),(1),例4,解,设函数,由方程,所确定.,求,例5,解,求,分析:,应用洛必达法则.,例6,证,且,函数,证明,原函数存在定理,定理,则积分上限的函数,重要意义:,(1),(2),联系.,肯定了连续函数的原函数是存在的;,初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的,牛顿莱布尼茨公式,定理,上的一个原函数,则,牛顿莱布尼茨公式,注:,根据上节的补充规定可知,该公,式仍成立.,牛顿莱布尼茨公式又称为微积分,基本公式,它表明:,一个连续函数在区间,上的定积分等于它的任意一个原函数在区间,上的增量,求定积分的问题就转化为求原,函数的问题.,例7,解,求,例8,求,解,例9,解,求,设,如图,例10,解,计算,因为,例11,解,求定积分,例12,解,求,由图形可知,例13,解,计算由曲线,轴所围成的图形的面积,如图,根据定积分的几何意义,例14,解,汽车以每小时 36km 速度行驶,到某处需要,减速停车.,问从开始刹车到停车,汽车驶过了多少距离?,设,km/h,(m),例15,证,证明在,使,1.,它们的导数存在吗？,如果存在等于什么 ？,2.,用定积分定义和性质求极限,3.,计算定积分,课堂练习,内容小结,1. 积分上限函数及其导数,(1) 积分上限函数,(2) 积分上限函数的导数,2. 牛顿莱布尼茨公式,即,则,微积分基本公式,内容小结,2. 牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式沟通了微分学与积分学,之间的关系，,指出了微分与积分是互为逆,运算的关系 .,微积分基本公式,1. 积分上限函数及其导数,