第一节 可测函数的定义及其简单性质,第三章 可测函数,新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）,问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测度)?,1可测函数定义,例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。,注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集,定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 )， 若 可测，则称f(x)是E上的可测函数,（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数,对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，,f(x) 在 处连续(对闭区间端点则用左或右连续),设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 处连续,可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数,证明：任取xEfa, 则f(x)a,由连续性假设知，, R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。,由f单调增知下面的集合为可测集,证明：不妨设f单调增，对任意aR,可测函数的等价描述,证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及,定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则 f(x)在E上可测,对前面等式的说明,可测函数的性质,可测函数关于子集、并集的性质,反之，若 , f(x)限制在En上是可测函数， 则f(x)在E上也是可测函数。,即:若f(x)是E上的可测函数, 可测， 则f(x)限制在E1上也是可测函数；,若m (Efg)=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）,注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性,证明：令E 1= Efg， E 2= Ef=g，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ，,即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测,注：用到了可测函数关于子集、并集的性质,另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 E2上也可测 。,可测函数类关于四则运算封闭,即:若f(x),g(x)是E上的可测函数, 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数。,可测函数类关于四则运算封闭,即:若f(x),g(x)是E上的可测函数, 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数。,类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。,证明中利用了 Q是可数集和 R中的稠密集 两个性质,类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 为可测集。,证明中利用了 Q是可数集和 R中的稠密集 两个性质,可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。,推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。,若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。,对上式的说明：,下确界：,例： R1上的可微函数f(x)的导函数f (x)是可测函数,利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.,从而f (x)是一列连续函数（当然是可测函数） 的极限，故f (x)是可测函数.,证明：由于,例 设fn是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.,注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.,证明：发散点全体为 收敛点全体为,再,可测函数与简单函数的关系,可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限,例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f( g(x)是可测函数。,证明：要证f( g(x)是可测函数，只要证对任意a， Ef ga=x| f( g(x)a可测即可,x| f( g(x)a= (f g)-1(a,+) = g-1(f-1(a,+),f-1(a,+) =,第二节 可测函数的收敛性,第三章 可测函数,函数列的几种收敛定义,一致收敛:,注：近似地说一致收敛是函数列 收敛慢的程度能有个控制 近似地说一致连续是函数图 象陡的程度能有个控制,点点收敛: 记作,例：函数列 fn(x)=xn , n=1,2, 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛,fn(x)=xn,几乎处处收敛: 记作 (almost everywhere）,即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛,即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,几乎一致收敛:记作 (almost uniformly),依测度收敛: 记作,注：从定义可看出， 几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外） 依测度收敛并不 指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何,不依测度收敛,依测度收敛,几种收敛的区别,说明：当n越大，取1的点越多，故fn(x)在R+上处处收敛于1,（1）处处收敛但不依测度收敛,在R+上处处收敛于 f(x)=1 ,所以fn(x)在R+上不依测度收敛于1，另外fn不几乎一致收敛于1,fn不几乎一致收敛于f,几乎一致收敛:记作 (almost uniformly),即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,即：去掉 测度集，在留下的集合上仍不一致收敛,任意 （ ）,适当小,小,fn不几乎一致收敛于f,即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛,（2）依测度收敛但处处不收敛,依测度收敛但处处不收敛, 取E=(0,1, n=2k+i,0i2k,k=0,1,2,3,说明：对任何x(0,1 , fn(x)有两个子列，一个恒为1， 一个恒为0，所以fn(x)在(0,1上处处不收敛；,例：函数列fn(x)=xn 在(0,1)上处处收敛到 f(x)=0,但不一致收敛， 但去掉一小测度集合 (1-,1),在留下的集合 上一致收敛,收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）,三种收敛的联系,即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛,几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理） 设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,（即：可测函数列的收敛 “基本上”是一致收敛）,引理：设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,证明：由于 为零测度集， 故不妨令 fn ，f在E上处处有限，从而有：,几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）,设mE+，fn ，f在E上几乎处处有限且可测，,第三节 可测函数结构 Lusin定理,第三章 可测函数,可测函数,简单函数是可测函数 可测函数总可表示成一列简单函数的极限 （当可测函数有界时，可作到一致收敛）,问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？,可测集E上的连续函数定为可测函数,鲁津定理,实变函数的三条原理（J.E.Littlewood） （1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并）,设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则 使得 m(E-F)且f(x)在F上连续。,（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数） 即：可测函数“基本上”是连续函数,（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列,（2）任一可测函数差不多就是连续函数,鲁津定理的证明,证明：由于mE|f|=+=0 ，故不妨令f(x)为有限函数 (1) 当f(x)为简单函数时，,当xEi时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续， 而Fi为两两不交闭集，故f(x)在 上连续 显然F为闭集，且有,对f(x)在F连续的说明,若f(x)在Fi上连续，而 Fi为两两不交闭集，则f(x)在 上连续,故对任意xO(x, )F，有|f(x)-f(x)|=0，故f 连续,证明：任取 则存在 i0，使得xFi0，f(x)= ci0，,又Fi为两两不交闭集，从而x在开集 中,所以存在0, 使得,对f(x)在F连续的说明,说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为 内点，从而可取xFi足够小的邻域不含其他Fi 中的点,函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续， 但函数在R上处处不连续,条件Fi为两两不交闭集必不可少，如：,鲁津定理的证明,(2)当f(x)为有界可测函数时， 存在简单函数列n(x) 在E上一致收敛于f(x)，,由n(x) 在F连续及一致收敛于f (x) ， 易知f(x)在闭集F上连续。,利用(1)的结果知,鲁津定理的证明,则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果 （连续函数类关于四则运算封闭）,(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换,注：(1)鲁津定理推论,鲁津定理（限制定义域） （即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续）,（在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数）,若f(x)为 上几乎处处有限的可测函数，,使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)（对n维空间也成立）,则 及R上的连续函数g(x),开集的余集是闭集 闭集的余集是开集,直线上的开集构造 直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个 互不相交的开区间的并,鲁津定理推论证明的说明,鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数， 则 使得m(E-F)且f(x)在F上连续,例 对 E=R1 上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列fi(x)使fi(x)f(x) a.e.于E,从而,令 ，即得我们所要的结果。,证明：由鲁津定理的推论知,再由Riesz定理，存在gn(x) 的子列 gni(x) 使gni(x)f(x) a.e.于E，,对上例的说明（只能作到几乎处处收敛）：,说明：若fnf于R， fn连续，则f的连续点集是R的稠密集 （参见：实变函数，周民强，p-43）,鲁津定理的结论 m (E-F) 不能加强到m (E-F) =0 （参见：实变函数，周民强，p-116）,虽然我们有 但不存在R上的连续函数列 fn 使得fnf于E,设f(x)是E上a.e.有限的实函数，对0，存在闭集 ，使 且f(x)在 上连续，则f(x)是E上的可测函数,注：此结论即为 鲁津定理的逆定理,从而 f(x)在 上可测， 进一步 f(x)在 上可测。,证明：由条件知， ，存在闭集 使 且 f(x)在En 连续，当然 f(x)在 En上可测，,