1.2不等关系及简单不等式的解法,知识梳理,考点自测,1.两个实数比较大小的方法,=,=,知识梳理,考点自测,2.不等式的性质 (1)对称性:abbb,bc. (3)可加性:aba+cb+c;ab,cda+cb+d. (4)可乘性: ab,c0acbc;ab,cb0,cd0acbd. (5)可乘方:ab0anbn(nN,n1).,ac,知识梳理,考点自测,3.三个“二次”之间的关系,x|xx2或xx1,x|x1xx2,知识梳理,考点自测,2.(x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)f(x)恒成立af(x)max;af(x)恒成立af(x)min. 4.能成立问题的转化:af(x)能成立af(x)min;af(x)能成立af(x)max.,知识梳理,考点自测,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.(2017江西吉抚七校质量监测2,理4)若01D.lg(b-a)0,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.(2018福建厦门期末,理3)若实数x,y满足xy0,则(),答案,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.(2017辽宁大连一模,理2)已知集合A=x|x2-2x-30, A.x|1x3 B.x|-1x3 C.x|-1x0或0x3 D.x|-1x0或1x3,答案,解析,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)已知a1,a2(0,1),若M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是() A.MNC.M=ND.不确定 A.abcB.cbaC.cabD.bac,答案:(1)B(2)B,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1). a1(0,1),a2(0,1),a1-10,即M-N0.MN. (2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数. 故ce时,f(x)f(4)f(5),即cba.,考点1,考点2,考点3,考点4,思考比较两个数(式)大小常用的方法有哪些? 解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法. (1)作差法的一般步骤:作差;变形;定号;下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式. (2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小. (3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是() A.cbaB.acb C.cbaD.acb (2)已知a,b是实数,且eab,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.,答案: (1)A(2)abba,考点1,考点2,考点3,考点4,解析: (1)c-b=4-4a+a2=(a-2)20,cb. 又b+c=6-4a+3a2,2b=2+2a2. b=a2+1. ba.cba. 当xe时,f(x)f(b), bln aaln b.abba.,考点1,考点2,考点3,考点4,例2(1)如果aR,且a2+aa-a2-aB.a2-aa-a2 C.-aa2a-a2D.-aa2-a2a (2)设a,b为正实数.现有下列命题: 若a2-b2=1,则a-b1; 若|a3-b3|=1,则|a-b|1. 其中的真命题有.(写出所有真命题的序号),答案,考点1,考点2,考点3,考点4,思考判断多个不等式是否成立常用的方法有哪些? 解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式的性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2(1)已知aabab2B.ab2aba C.abaab2D.abab2a (2)已知a,b,cR,则下列命题中正确的是() A.若ab,则ac2bc2,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考向1不含参数的一元二次不等式 例3不等式-2x2+x+30的解集为. 思考如何求解不含参数的一元二次不等式?,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2分式不等式 思考解分式不等式的基本思路是什么?,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考向3含参数的一元二次不等式 例5解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a0. 思考解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据是什么?,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.不含参数的一元二次不等式的解法:当二次项的系数为负时,要先把二次项系数化为正,再根据判别式的符号判断对应方程根的情况,有根时求出相应方程的根,最后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.,考点1,考点2,考点3,考点4,3.解含参数的一元二次不等式要分类讨论,分类讨论的依据是:(1)二次项的系数中若含有参数,则应讨论它是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式;(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,应讨论判别式与0的关系;(3)不等式对应的方程确定无根时,根据二次项系数的正、负可直接写出解集,确定有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集的形式.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,考向1不等式在R上恒成立求参数范围 例6若一元二次不等式2kx2+kx- 0对一切实数x都成立,则k的取值范围为() A.(-3,0B.-3,0)C.-3,0D.(-3,0) 思考一元二次不等式在R上恒成立的条件是什么?,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,考向2不等式在给定区间上恒成立求参数范围 例7已知二次函数f(x)=ax2+x+1在区间0,2上恒有f(x)0,求a的取值范围. 思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?,答案,考点1,考点2,考点3,考点4,考向3给定参数范围的恒成立问题 例8已知对任意的k-1,1,函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是. 思考如何求解给定参数范围的恒成立问题?,答案,解析,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.ax2+bx+c0(a0)对任意实数x恒成立的条件是 2.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种解决方法:一是利用二次函数在区间上的最值来解决;二是先分离出参数,再通过求函数的最值来解决. 3.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一个新的函数,然后利用新函数求解.,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4(1)已知a为常数, xR,ax2+ax+10,则a的取值范围是() A.(0,4)B.0,4)C.(0,+)D.(-,4) (2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意xm,m+1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是. (3)已知不等式xyax2+2y2对x1,2,y2,3恒成立,则实数a的取值范围是.,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,考点1,考点2,考点3,考点4,1.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.作差法的主要步骤为作差变形判断正负. 2.判断不等式是否成立,主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法,特别是对于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更简单. 3.简单的分式不等式可以等价转化,利用一元二次不等式的解法进行求解. 4.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;一般可把a0的情形.,考点1,考点2,考点3,考点4,5.(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.,思想方法发散思维和转化与化归思想在不等式中的应用 1.发散思维训练一题多变练发散 典例已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于xR,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围. 解:当m=0时,f(x)=-10恒成立. 综上,-4m0.故m的取值范围是(-4,0.,跟踪训练1将本例中的条件变为:对于x1,3,f(x)5-m恒成立,求实数m的取值范围.,答案,跟踪训练2将本例中的条件变为:若f(x)0对于m1,2恒成立,求实数x的取值范围.,答案,跟踪训练3将跟踪训练1中的条件“f(x)5-m恒成立”改为“f(x)5-m无解”,如何求m的取值范围?,答案,跟踪训练4将跟踪训练1中的条件“f(x)5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)5-m成立”,如何求m的取值范围?,答案,反思提升1.对于一元二次不等式恒成立问题,用数形结合法是解题的关键. 2.解决恒成立问题一定要弄清主元与参数,自变量x不一定是主元.,2.转化与化归思想在不等式中的应用 典例已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6),则实数c的值为. 答案:9,反思提升1.本题的解法充分体现了转化与化归思想:将函数的值域和不等式的解集转化为a,b,c满足的条件;不等式恒成立可以分离常数,转化为函数值域问题. 2.注意函数f(x)的值域为0,+)与f(x)0的区别.,