计量经济学,授课人：田立法 教材：张晓峒计量经济学基础（第3版） 授课班级：金融0905、0906，信用0901 公共信箱：sd_jiliang_ tianlifa,计量经济学,天津商业大学经济学院,天津商业大学经济学院,2011年10月,第四章 非线性回归模型的线性化,第一节：变量间的非线性关系 第二节：线性化方法 第三节：案例分析,第一节 变量间的非线性关系,1. 线性回归模型与非线性回归模型的形式有何不同？,线性模型 非线性模型,2. 非线性回归模型可分为几类？ 第一类：非标准的线性回归模型； 第二类：可线性化的非线性回归模型； 第三类：不可线性化的非线性回归模型。,第一节 变量间的非线性关系,第二类：可线性化的非线性回归模型 此类模型可通过适当的变换化为标准的线性回归模型。如，柯布道格拉斯（Cobb-Dauglas）生产函数模型，简称C-D生产函数模型： 其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L 表示劳动投入量，A 为效率系数， 和 非别为K 和 L的产出弹性，A、 和 均为待估未知参数。 取对数后：,第一节 变量间的非线性关系,第三类：不可线性化的非线性回归模型 有些回归模型无论通过什么样的变换，都无法使其化为标准的线性回归模型，这类回归模型被称为不可线性化的非线性回归模型。如：,第二节 线性化方法,1. 非标准线性回归模型的线性化方法 变量替换法 变量替换公式为 则,第二节 线性化方法,（1）多项式函数模型 令 则 例4.1 假设某企业在15年中每年的产量和总成本的 统计资料如表4.1所示，试估计该企业的总成 本函数模型。 解：详见教材。,第二节 线性化方法,（2）双曲函数模型 令 则，化为标准的线性回归模型,第二节 线性化方法,（3）对数函数模型 令 则 （4）S-型曲线模型 取倒数 令 则,第二节 线性化方法,2. 可线性化的非线性回归模型的线性化方法 （1）指数函数模型 取对数 令 则 （2）幂函数模型,第二节 线性化方法,例 4.2 对于柯布道格拉斯（C-D）生产函数 其中，Y 表示产出量，K 表示资金投入量，L表示劳动投入量，u 表示随机误差项，A、 、 为未知参数。试利用天津市1980年1996年间的有关统计资料，估计天津市全社会的C-D生产函数模型。 解：详见教材。,第二节 线性化方法,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 迭代线性化法 第一步：根据经济理论和历史统计资料，选定 作为未知参数 的一组初始估计值。接着将模 型的非线性函数 在这组初始估计值附近作泰勒级数展 开，得 舍掉二阶和二阶以上的高阶项，得：,第二节 线性化方法,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 移项整理后得： 令 得,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 第二步：对变换好的标准线性回归模型应用普通最小二乘法 估计未知参数。由给定的样本观察值 和 初始估计值 计算出一组新的样本观测值 。利用这组新的样本观测值， 就可以得到线性回归模型的一组新的最小二乘估计量。 第三步：将非线性函数 在这组新的参数估计值 附近作泰勒级数展开，线性化后得到一个新的标准线性回 归模型。对这个新的标准线性回归模型再应用普通最小二 乘法，又得到一组新的最小二乘估计量 。,第二节 线性化方法,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 重复这一过程：一直到参数估计值满足下式为止， 即对于预先给定的任意小的正数 ，不等式成立。 例 4.3 写出利用迭代线性化法估计下面的非线性消费函数模型的具体步骤。 其中，C 表示总消费，Y 表示可支配收入。,第二节 线性化方法,第二节 线性化方法,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 解：若C 与 Y 之间存在线性关系，则 ，因此可将参数的初始估计值取为 。将非线性消费函数在这组初始估计值附近作泰勒级数展开，然后取线性近似。 代入消费函数模型，得 移项得 令 得,第二节 线性化方法,3. 不可线性化的非线性回归模型的线性化估计方法 解： 将参数初始估计值 换成 重复上述步骤，又得到一组新的最小二乘估计值 直至估计值达到预定的精度为止。 美国1947年第1季度1995年第2季度的时间序列数据，经过22次迭代后达到收敛，得到的消费函数的估计模型为,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解：两要素不变替代弹性生产函数，简称CES生产函数，是由Arrow、Chenery、Mihas和Solow等人于1961年提出，其一 般形式如下： 其中 A效益系数，是广义技术进步水平的反映，应满足A0; 分配系数，应满足 ； 替代系数，应满足 ； m规模报酬参数，m1表示规模报酬递增。,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解：,1928年 Cobb，Dauglas C-D生产函数1937年 Dauglas，Durand C-D生产函数的改进型1957年 Solow 含体现技术进步生产函数1960年 Solow 两要素CES生产函数1961年 Arrow 二级CES生产函数1967年 Sato VES生产函数1968年 Sato，Hoffman 边界生产函数1971年 Revanker VES生产函数1973年 Christensan，Jorgenson 超越对数生产函数1980年 三级CES生产函数,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解： CES生产函数是一个关于四参数 A、 、 、m 的非线性函数，而且无法通过简单的变换实现线性化。教材介绍了一种由Kementa于1967年提出的线性化估计方法。首先，对函数两边取对数，得： 设,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解：将 在 处作泰勒级数展开，取0阶、1阶和2阶项， 得 将上式代入 得,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解： 设 为被解释变量， 为解 释变量， 为未 知参数，则可将上面线性化的CES生产函数改写为一个简单的 多元线性回归模型：,第三节 案例分析,例4.4 两要素不变替代弹性(CES)生产函数的参数估计 解：利用最小二乘法（OLS）可以得到 的估计 值 ，进而得到CES生产函数的结构参数 的估计值： Eviews操作：详见教材。,