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5 控制系统稳定性分析,5.1系统稳定性的基本概念,5.2系统稳定的充要条件,5.3代数稳定性判据(Routh判据、Hurwitz 判据),5.4乃奎斯特稳定性判据(Nyquist判据),5.5应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性,5.6由伯德图判断系统的稳定性,5.7控制系统的相对稳定性,5.1系统稳定性的基本概念,1. 单摆,2. 闭环控制系统的稳定性问题 定义,系统受扰动后能否恢复原来的状态,5.2 系统稳定的充要条件,N(s)到Xo(s)的传递函数:,设n(t)为单位脉冲函数,,n(t)为输入时,系统输出为:,如果系统稳定,应有,即,系统输出的时域表达式:,为系统闭环特征方程式的根的实部,控制系统稳定的充分必要条件是:闭环特征方程式的根全部具有负实部,系统特征根即闭环极点, 故也可以说充要条件为 极点全部在s平面的左半面,为系统的特征根,基于方程式的根与系数的关系,5.3 代数稳定性判据,设系统特征方程为,复数根与系数的关系:,(2)特征方程的各项系数的符号都相同。,(1)特征方程的各项系数 (i=0,1,2,n) 。,要使全部特征根均具有负实部,必须满足:,一般取正值,则上述两条件简化为,必要条件!,充要条件: 如果“劳斯阵列”中第一列所有项均为正,则系统稳定。 劳斯阵列:,其中,实部为正的特征根数 劳斯阵列中第一列的系数符号改变的次数。,例: 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,劳斯阵列第一列中 系数符号全为正, 所以控制系统稳定。,解: 首先由方程系数可知满足稳定的必要条件(系数均大于0)。,其次,排劳斯阵列,例2 设控制系统的特征方程式为 试应用劳斯稳定判据判断系统的稳定性。,解:由方程系数可知已满足稳定的必要条件。排劳斯阵列,第一列系数改变符号2次, 闭环系统的根中有2个实部为正, 控制系统不稳定。,二阶系统特征式为 ,劳斯表为,故二阶系统稳定的充要条件是,对于特征方程阶次低(n3)的系统,劳斯判据可简化:,三阶系统特征式为 ,劳斯表:,故三阶系统稳定的充要条件是,例 设某反馈控制系统如下图所示,试计算使系统稳定的K值范围。,解:系统闭环传递函数为,特征方程为,根据三阶系统稳定的充要条件, 可知使系统稳定须满足,故使系统稳定的K值范围为,例: 设控制系统的闭环特征方程式为 用劳斯判据判断稳定性。,劳斯阵列表,符号改变2次, 2个正实根。,无正实根,有虚根。,例: 设控制系统的闭环特征方程式为 用劳斯判据判断稳定性。,劳斯阵列表,临界稳定,nn行列式:,赫尔维茨稳定性判据,系统稳定的充要条件: 各阶主子行列式均 0 即:,例: 设控制系统的特征方程式为 试应用赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性。,解:由方程系数可知满足稳定的必要条件。 各系数排成行列式,由于,故该系统稳定。,代数稳定性判据使用的多项式 是系统闭环特征多项式。,例:一个反馈控制系统的特征方程为 s3+5Ks2+(2K+3)s+10=0, 试确定使该闭环系统稳定的K值。,劳斯判据的不足:,定性较难从量上判断系统的稳定程度,必须知道系统的闭环传递函数,Nyquist稳定判据 根据开环频率特性判断闭环稳定性,对含有延迟环节的系统无效,1.,a 为复数,C 为顺时针方向,5.4乃奎斯特稳定性判据,如果 C 包围 a ,则 C 顺时针包围原点1圈; 如果 C 不包围 a ,则C不包围原点。,2.,如果 C 包围 a ,则 C 逆时针包围原点1圈; 如果 C 不包围 a ,则C不包围原点。,C包围z个零点,C绕原点,顺时针绕原点1圈,角度增量,顺时针z圈,C包围1个极点,C 逆时针绕原点1圈,C包围p个极点,C绕原点,逆时针p圈,F(s)有m个零点,n个极点, 在s平面上的C顺时针包围了其中z个零点和p个极点,,映射定理,z p圈。,则在F平面上的C顺时针包围原点,反馈控制系统,开环传递函数,闭环传递函数,闭环稳定闭环传递函数右极点个数为0,逆时针包围原点的圈数 = 开环右极点个数,F(s)包围原点的圈数 = F (s)包围-1点的圈数,Nyquist稳定判据,在s平面作包围右半平面的D形曲线, 如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数, 则系统稳定。,充要条件,右极点数:0 逆时针包围圈数:0 稳定,右极点数:0 逆时针包围圈数:0 稳定,右极点数:1 逆时针包围圈数:1 稳定,例:下图所示反馈控制系统,K为何值时稳定?,K1,稳定。,例:某反馈控制系统开环传递函数为,判断当K=10和40时的稳定性,如果开环传递函数在虚轴上有极点或零点,,开环没有右极点,乃氏图不包围(-1,j0),稳定,开环右极点有1个,乃氏图逆时针包围(-1,j0)1圈,稳定,从原点右边绕,开环右极点个数为0;乃氏图顺时针包围(-1,j0) 1 圈,不稳定,例:某系统开环传递函数为,从原点右边绕,,顺时针2圈,不稳定,延时环节串联在前向通道,K满足什么条件时系统闭环稳定?,5.5应用乃奎斯特判据分析 延时系统的稳定性,0+,0-,例如:,稳定条件:,Nyquist稳定判据,在s平面作包围右半平面的D形曲线, 如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围(1,j0)点的圈数等于开环右极点的个数, 则系统稳定。,(1) 开环右极点个数如何判断?,劳斯判据,(2) 开环在虚轴上有零极点?,绕道,(3) 开环无右极点不包围,(4) 乃氏判据也适用于有延时环节的情况,延时环节并联在前向通道,例:下图所示为机床(如镗床,铣床)的长悬臂梁式主轴的工作情况,由于主轴刚性低,常易产生振动,下面分析其动态特性。,P(t)切削力; y(t)主轴前端刀具处因切削力产生 的变形量; D 主轴系统的当量粘性系数; 主轴系统的当量刚度。,1机床主轴系统的传递函数 将主轴简化为集中质量m作用于主轴端部,令,主轴端部的运动微分方程为,其传递函数为,2切削过程的传递函数 若工件名义进给量为 ,由于主轴的变形,实际进给量为u(t),于是,U(s)=Uo(s)-Y(s),若主轴转速为n,刀具为单齿,则刀具每转一周需要时间 。 刀具在每转动一周中切削的实际厚度为u(t)-u(t-) 。,令kc为切削阻力系数(它表示切削力与切削厚度之比),则,其闭环系统的特征方程为,则 ,即,令,这样一来就将乃氏判据中开环频率特性的极坐标是否包围(-1,j0)点的问题归结为 Gm(j)的极坐标轨迹是否包围Gc(j)的极坐标轨迹的问题。 下面分别作出Gm(j)和Gc(j)的极坐标轨迹。,曲线,曲线,1若Gm(j)不包围Gc(j),即 Gm(j)与Gc(j)不相交,如曲线,则系统绝对稳定。因此系统绝对稳定的条件是Gm(j)中的最小负实部的绝对值小于 。,无论提高主轴的刚度km,还是减少kc(切削阻力系数),都可提高稳定性,但对提高稳定性最有利的是增加阻尼。,2若Gm(j)包围Gc(j)一部分,即Gm(j)与Gc(j)相交,如曲线,则系统可能不稳定,但在一定条件下也可稳定。,如果在工作频率下,保证避开的 范围,也就是适当选择系统仍可稳定。所以,在此条件下系统稳定的条件为:选择适当的主轴转速n(在单刃铣刀时,1/n),使Gm(j)不包围点。,单位圆0dB线,5.6 由伯德图判断系统的稳定性,由伯德图判稳定性 设0型或I型系统开环特征方程有 p 个右根,且开环静态放大倍数大于零,如果在所有L()0频率范围内,相频特性曲线()在(-)线上正负穿越之差为p/2次,则闭环系统稳定。,乃氏图从第三象限穿越负实轴到第二象限,负穿越; 从第二象限穿越负实轴到第三象限,正穿越。,如果=0时,()= -,乃氏图向第三象限去,半次正穿越, 向第二象限去,半次负穿越。,图(a),已知p0,即开环无右特征根,在L()0范围内,正负穿越之差为0,系统闭环稳定。,图(b),已知开环传递函数有一个右极点,p=1,在L()0的频率范围内,半次正穿越,系统闭环稳定。,图(c),已知p2,在L()0的范围内,正负穿越之差为1-2=-122,系统闭环不稳定。,图(d),已知p2,在L()0的范围内,正负穿越之差为2-11=22,系统闭环稳定。,如果系统闭环特征根均在s左半平面,且和虚轴有一段距离,则系统有一定的稳定裕量。,用劳斯判据,定性定量,虚轴左移,令z=s+,将s=z-代入系统特征式,得到z的方程式,采用劳斯判据,可知距离虚轴以右是否有根。,5.7控制系统的相对稳定性,例:,令 z = s+1,即s = z 1,代入系统特征式,,即,z的多项式系数无相反符号,劳斯阵列第一列未变号,系统在s=-1以右没有根。,实际4个根为-1, -2, -3, -4,用Nyquist图,如果系统稳定, Nyquist图离 (-1, j0) 越近,,相对稳定性越差。,剪切频率,相位裕量,增益裕量,增益裕量也可用分贝数表示:,例:开环传递函数为,求K=10、100时的相位裕量、幅值裕量。,K=10,作图法 计算法,K=100,作图法 计算法,相关matlab函数,nyquist(s1),s1 = tf(40,0.005 0.15 1 0),s1 = zpk(,0 -10 -20,8000),Gm,Pm,Wcg,Wcp = margin(s1),Warning: The closed-loop system is unstable. In lti.margin at 89 Gm = 7.5000e-001 Pm = -7.5156e+000 Wcg = 1.4142e+001 Wcp = 1.6259e+001,求稳定裕量,Gm增益裕量 Pm相位裕量 Wcg相位-处 的频率 Wcp剪切频率,
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