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,一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程的定义和分类,第十二章,二、一阶线性微分方程的解法,一阶线性微分方程的标准形式:,上述方程称为齐次的.,上述方程称为非齐次的.,一、一阶线性方程的定义,例如,线性的;,非线性的.,齐次方程的通解为:,1. 线性齐次方程,二、一阶线性微分方程的解法,可分离变量的方程,只写一个原函数,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,设,是方程 的解,则,积分得,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解公式为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,一阶线性非奇次方程解的结构,解:,例1,本章类似积分可不加绝对值,例2,解:,化为标准型:,例3. 求方程 的通解.,解法一: 一阶线性微分方程公式,例3. 求方程 的通解.,解法二: 分离变量法,例4 如图所示,平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .,两边求导得,解,解此微分方程,所求曲线为,例5:设曲线上任意一点 P(x,y) 处的切线与射线 OP 以及y 轴围成图形的面积是常数a. 求曲线的方程.,切线方程:,令 X= 0 , 得 A 点的纵坐标,例6:求下列方程的解,例6:求下列方程的解,两边求导,得,积分方程有时会蕴含定解条件,例6:求下列方程的解,(3) 设y(x)当x0 时可微,且满足,求 y.,两次求导,3、设,在,上连续,且,单调减少,,单调增加。,证明:,证明:,当,当,所以命题成立。,不能再次求导,作业,P 304 1 (1) ,(2), (5) , (6), (7) , (9) 2 (1), (2), (3) ; 6 P 309 1 (1) ; 2(1) , (2); 3 P 315 1 (1) , (2) , (3); 2 (1) ; 3,
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