一、交错级数及其审敛法,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,3 一般项级数,证法一,由区间套定理，,即级数收敛于s.,证法二,解,显然单调趋于0，,解,原级数收敛.,二、绝对收敛与条件收敛,证明,与书上证法不同,该定理的作用：,任意项级数,正项级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,解,例5,解,绝对收敛。,例6,解,发散。,用比值或根值判别法判定的非绝对收敛级数一定发散。,三、绝对收敛级数的性质,1、级数的重排,映射,称为正整数列的重排。,定理,证*,即：绝对收敛的级数对加法有交换律。,由（1）的证明得：,下面证明两个级数的和相等。,前面已证收敛的正项级数重排后和不变，,证毕。,上述证明过程显然可以得到下面的结论：,命题：,同时可以证明：,命题：,证,矛盾！,可以证明：条件收敛的级数，可以适当重排，使其按任意预定的方式收敛或发散。,设其收敛于A，,两个级数相加，得,2、级数的乘积,两个无穷级数如何相乘？,这两个级数中的项的所有可能的乘积为：,这些乘积可以按各种方法排成不同的级数，,常用正方形顺序和对角线顺序，分别为：,“正方形”排序级数为：,“对角线”排序级数为：,定理（柯西定理）：,则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB.,例,考察：,按对角线顺序，得,该级数的和我们将来还会有其他方法求得。,二、 阿贝耳判别法和狄利克雷判别法,引理（分部求和公式，Abel变换）：,离散型分部求和公式,证,代入即得。,解释“离散型分部求和公式”,推论（Abel引理）,（2）对任一正整数 ，有,证,证毕。,定理（Abel判别法）,若（1） 为单调有界数列，,证,再由Cauchy准则，,证毕。,定理（Dirichelet判别法）,证,由Cauchy准则，,证毕。,注（1）,交错级数的Leibniz判别法是Dirichelet判别法的特例。,（2） 与反常积分类似，用Dirichelet判别法可以证明Abel判别法。,无穷级数的Abel判别法：,若（1） 为单调有界数列，,无穷积分的Abel判别法：,无穷级数的Dirichelet判别法：,无穷积分的Dirichelet判别法：,例,同理，,例,解（1）,由Dirichelet判别法，得,收敛。,（2）,由Dirichelet判别法，得,显然其收敛性取决于an的性质。,特别：,发散,收敛,发散,作 业,P24. 1 (4) (5) (7) 2 (1) (3),