公理和定理,浆水中学 谷江玉,说一说,判断下列命题是真还是假,你的 根据是什么?,(1)如果a是有理数,那么a是整数; (2)如果a是自然数,那么a是整数; (3)如果是整数,那么a是有理数; (4)如果四边形ABCD是正方形,那么它是矩形.,实验,(1)天平的左边放一个20的物体,右边放 一个10克砝码和两个5克的砝码,观察 天平的两边是否平衡.,(2)将天平右边的两个5克的砝码拿出, 换成一个10克的砝码,再观察天平两边 是否平衡.,思考,为什么将两个5克的砝码换成 一个10克砝码后,天平两边还会平 衡呢?,等量加等量,其和相等吗?,古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.,欧几里得,欧几里得以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理，它也可以作为判断其他命题的真假的依据.,欧几里得按照这种方法(现在称为公理化方法)编写了一本书，书名叫原本.全书共分13卷，包括有5条公理，5条公设，119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系,（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何.近代数学对此不再区分，都称为公理.),原本.,把哪些真命题作为公理应当遵循下列原则：直观，易于被大家所公认；够用；尽可能少；相互之间不闹矛盾等,根据上述原则并且考虑到同学们的实际情况，我们编写的这套教材到目前为止选择了下列真命题作为公理：,回顾总结,我们学过的十条公理：,1、等量加等量，和相等。,2、等量减等量，差相等。,3、等量代换。,4、整体大于部分。,5、经过两点有且只有一条直线。,6、连结两点的所有连线中，线段最短。,7、经过一条直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。,8、平移不改变图形的形状和大小，平移不改变直线的方向。,9、轴反射不改变图形的形状和大小。,10、旋转不改变图形的形状和大小。,请你来回忆,回顾下列定理的证明过程，说一说在定理的证明过程中应 用了哪些公里。,（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。,（2）两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，则两直线平行。,（3）三角形全等的三个判定定理：边角边定理、角边角订定理、边边边定理。,解,（1）运用了公里7和公里8,（2）运用了公里3,（3）运用了公里8、公里9和公里10,观察,平行线的性质定理1 两条直线被第三条直线所截，如 果这两条直线平行，那么同位角相等。 平行线的判定定理1 两条直线被第三条直线所截，如 果同位角相等，那么这两条直线平行。,上述两个定理是不是互逆命题？,思考,抽象,如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理， 这两个定理称为互逆定理。,做一做,下列定理有逆定理吗？如果有，把它说出来。,（1）线段垂直平分线上任意一点到这条线段两端点的 距离相等。 （2）等腰三角形的两底角相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。,解,（1）有,到线段两端点的距离相等的点在这条线段 的垂直平分线上。,（2）有,有两角相等的三角形是等腰三角形。,（3）有,对角线互相平分的四边形是平行四边形。,看你行不行,P44 练习 第1、2题,作业,P44 习题2.3 A组 第、3题,