第一章 函数与极限,第三节 函数的极限,法国多产的数学家柯西.,他在18211823年间出版的分析教程和无穷小计算讲义是数学史上划时代的著作. 在书中他给出了相对精确的极限定义，然后用极限定义了连续性、导数、微分、定积分及无穷级数的收敛性.,德国数学家维尔斯特拉斯对此作了进一步的严格化，使得极限理论成为了微积分的坚定基础.,一、函数极限的引入,数列可看作自变量为正整数 的函数:,即:,接近数,由此引出函数极限的,一般概念:,如果对,则,二 自变量趋向无穷大时函数的极限,问题:,如何用数学语言刻画下述过程:,定义:,设函数,总存在,着正数,恒有,记作,或,(当,情形:,即,恒有,情形:,恒有,即,单侧极限:,定理,且,f (x),A,X, X,其相应的曲线上的点,落在绿色区域内.,x 趋于无穷大时的极限,A的邻域, X 0,A+,A,对满足 |x| X 的一切点 x,f (x),X, X,A,其相应的曲线上的点,A的邻域, X 0,.,x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| X 的一切点 x,落在绿色区域内.,f (x),X, X,A,其相应的曲线上的点,A的邻域, X 0,.,x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| X 的一切点 x,落在绿色区域内.,f (x),A,其相应的曲线上的点,A的邻域, X 0,.,x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| X 的一切点 x,落在绿色区域内.,f (x),A,其相应的曲线上的点,A的邻域, X 0,.,x 趋于无穷大时的极限,对满足 |x| X 的一切点 x,落在绿色区域内.,例 1,证明,注：,例 2,用极限定义证明,注 ：,同理可证：,例 3,证明,三、自变量趋向有限值时函数的极限,考虑函数,问题:,如何用数学语言描述下述过程:,定义,若对任意给定的正数,(不论它多么小),总存,在正数,不等式,定义.,记作,或,(当,恒有,x,y,0,f (x),A,当,该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,函数的极限,A的邻域, x0的空心 邻域,A+,A,A,函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域,当, x0的空心 邻域,A,函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域,当, x0的空心 邻域,A,函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,A,几何上：函数有极限 等价于这种 邻域与 空心 邻域之间 存在着无限的对应.,函数的极限,.,f (x),该邻域内所有点 x 的纵坐标 f(x)落在 A的 邻域 内， 即相应的点(x,f(x) 落在绿色区域内.,A的邻域, x0的空心 邻域,当,例 4 (1),证明,(2),证明,例 5,证明,注意:,例 6,证明:,左极限,恒有,记作,或,右极限,恒有,记作,或,定理,例 7,例 8,设,求,函数极限的性质,唯一性定理,则极限唯一.,有界性定理,若,则存在常数,和,有,函数极限的性质,保号性定理,若,且,(或,则,有,(或,注:,由证明可见,保号性定理的结论可加强为,推论,若,(或,子序列收敛性,定义,中有,数列,则称数列,定理,若,时的一个子序列,则有,函数极限与数列极限的关系,函数极限存在的充要条件是,都存在且相等.,例9,它的任何子列的极限,函数极限的概念,小结,