5.4数系的扩充与复数的引入,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,1.复数的有关概念,a+bi,a,b,a=c,且b=d,a=c,且b=-d,-3-,知识梳理,双基自测,2,3,1,自测点评,x轴,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,2.复数的几何意义,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则 加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=; 减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=; 乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)= ;,(a+c)+(b+d)i,(a-c)+(b-d)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,1,(2)复数加法的运算定律:复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=. (3)复数加、减法的几何意义,z2+z1,z1+(z2+z3),2,-7-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)若aC,则a20. () (2)已知z=a+bi(a,bR),当a=0时,复数z为纯虚数. () (3)复数z=a+bi(a,bR)中,虚部为bi. () (4)方程x2+x+1=0没有解. () (5)由于复数包含实数,在实数范围内两个数能比较大小,因而在复数范围内两个数也能比较大小. (),答案,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.(2017全国,文3)下列各式的运算结果为纯虚数的是() A.i(1+i)2B.i2(1-i) C.(1+i)2D.i(1+i),答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.(2017全国,文2)(1+i)(2+i)=() A.1-iB.1+3i C.3+iD.3+3i,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.(2017全国,文2)复平面内表示复数z=i(-2+i)的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限,答案,解析,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.(教材习题改编P129TB1)已知(1+2i) =4+3i,则z=.,答案,解析,-12-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.在复数范围内实数的一些性质不一定成立,无解的一元二次方程在复数范围内都有解,且方程的根成对出现. 2.在复数中,两个虚数或一个为实数,一个为虚数不能比较大小. 3.利用复数相等,如a+bi=c+di列方程时,a,b,c,dR是前提条件.,-13-,考点1,考点2,考点3,p1:|z|=2;p2:z2=2i; p3:z的共轭复数为1+i;p4:z的虚部为-1. 其中正确的是() A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p4 (3)已知复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是. 思考求解与复数概念相关问题的基本思路是什么?,答案,-14-,考点1,考点2,考点3,-15-,考点1,考点2,考点3,解题心得求解与复数概念相关问题的基本思路:复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数以及求复数的实部、虚部都与复数的实部与虚部有关,所以解答与复数相关概念的问题时,需把所给复数化为代数形式,即a+bi(a,bR)的形式,再根据题意求解.,-16-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为() A.2+iB.2-iC.-1+iD.-1-i,答案,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,例2(1)设i是虚数单位,则复数 在复平面内所对应的点位于() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 (2)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=() A.-5B.5C.-4+iD.-4-i 思考复数具有怎样的几何意义?几何意义的作用是什么?,答案,-19-,考点1,考点2,考点3,=-1+i,对应点为(-1,1)在第二象限内.故选B. (2)由题意知:z2=-2+i. 又z1=2+i,所以z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.故选A.,-20-,考点1,考点2,考点3,2.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观.,-21-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)(2017山西太原一模)已知zi=2-i,则复数z在复平面内对应点的坐标是() A.(-1,-2)B.(-1,2) C.(1,-2)D.(1,2) (2)(2017山东潍坊二模)设复数z与 在复平面内对应的点关于实轴对称,则z等于() A.-1+2iB.1+2i C.1-2iD.-1-2i,答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,A.iB.1+iC.-iD.1-i (2)(2017天津,文9)已知aR,i为虚数单位,若 为实数,则a的值为. 思考利用复数的四则运算求复数的一般方法是什么?,答案,解析,-23-,考点1,考点2,考点3,解题心得利用复数的四则运算求复数的一般方法: (1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算. (2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简.,-24-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)已知a,bR,i是虚数单位,若a+i=2-bi,则(a+bi)2=() A.3-4iB.3+4iC.4-3iD.4+3i A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i (3)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=() A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i,答案,解析,-25-,考点1,考点2,考点3,1.复数z=a+bi(a,bR)是由它的实部和虚部唯一确定的,两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度去认识它,把复数看成一个整体,又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识. 2.在复数的几何意义中,加法和减法对应向量的三角形法则,其方向是应注意的问题,平移往往和加法、减法相结合. 3.在复数的四则运算中,加、减、乘运算按多项式运算法则进行,除法则需分母实数化.,-26-,考点1,考点2,考点3,1.判定复数是不是实数,仅注意虚部等于0是不够的,还需考虑它的实部是否有意义. 2.注意复数和虚数是包含关系,不能把复数等同为虚数,如虚数不能比较大小,但两个复数都为实数时,则可以比较大小. 3.注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来.例如,若z1,z2C, ,就不能推出z1=z2=0;z20在复数范围内有可能成立.,-27-,思想方法数形结合的思想在复数中的应用 数形结合的思想是高考考查的基本思想之一,它是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,可将代数问题几何化,几何问题代数化.其应用有两个方面:一是“以形助数”,借助形的生动、直观来阐明数之间的联系;二是“以数辅形”,借助数的精确、规范来阐明形的某些属性.,-28-,-29-,反思提升复数与复平面内的点和向量一一对应,要注意: (1)|z|=|z-0|=a(a0)表示复数z对应的点到原点的距离为a; (2)|z-z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离.,