范例4.3 半圆圈的质心和转动惯量,如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系？,解析(1)由于对称的缘故半圆圈的质心在y轴上。,半圆圈的面积为S = (R2 R02)/2，,在半圆圈中取一面积元ds = rddr，,质量面密度为,其质量为dm = ds = rddr，,到转动轴x的距离为y = rsin，,质心纵坐标为,范例4.3 半圆圈的质心和转动惯量,如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系？,当R0 = R时，半圆圈变成半圆环，半圆环的质心坐标为,当R0 = 0时，半圆圈变成半圆盘，半圆盘的质心坐标为,比较同一质量和半径的半圆环和半圆盘，由于圆环质量的分布离x轴比较远，其质心高度比较高。,质心纵坐标为,当半圆圈的质量和外半径一定时，半圆圈的质心高度随厚度的减小而增加。,半圆盘的质心高度为0.424R，半圆环的质心高度为0.637R。,范例4.3 半圆圈的质心和转动惯量,如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系？,半圆圈绕y轴的转动惯量为,半圆圈绕z轴的转动惯量为,解析(2)半圆圈绕x轴的转动惯量为,这是正交轴定理。,因此,范例4.3 半圆圈的质心和转动惯量,如图所示，一匀质半圆圈的质量为M，内半径为R0，外半径为R。(1)求半圆圈的质心位置。质心位置与半径R0和R有什么关系？(2)求半圆圈绕三个轴的转动惯量。转动惯量与半径R0和R有什么关系？,半圆圈绕x轴和y轴的转动惯量为,半圆圈绕z轴的转动惯量为,Jz是Jx和Jy的两倍，只要讨论Jz就行了。,当R0 = 0时，半圆圈变成半圆盘，半圆盘绕z轴的转动惯量为,当R0 = R时，半圆圈变成半圆环，半圆环绕z轴的转动惯量为Jz = MR2。,这是因为半圆环上所有点与z轴的距离都是R。,当半圆圈的质量和外半径一定时，半圆圈绕z轴的转动惯量随宽度的减小而增加。,