,第四节 多元复合函数与隐函数求导,一、多元复合函数的求导法则,二、隐函数的微分法,一、多元复合函数的求导法则,以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。,关于这个复合函数的导数我们有如下的定理：,定理1：设函数 在点(x,y)处有偏导数， 在相应的点(u,v)处有连续的偏导数，则复合函数 在点(x,y)处有偏导数，其满足：,设自变量x有一改变量x,则相应地，u和v有改变量,函数 在相应点(u,v)处相应于x的全增量,由于 有连续的偏导数，所以,多元复合函数的求导法则又形象地成为链式求导法则。,例1 设函数,解：,对于具有三个中间变量的函数,则,所以,-,-,当然我们同理也可求得,下面我们再讨论几种形式的复合函数的求导：,称之为全导数。,例3 设函数,-,-,（2）,例4 设函数,（3）抽象函数的求导方法及记号,则,于是,-,-,例6,解：,解：,-,解：,-,-,二、隐函数的微分法,隐函数存在定理1,设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且,则方程F（x,y）=0在点P0(x0,y0)的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x,y），它满足条件y0=f(x0),且有公式,-,证明：仅推导公式。,由于方程F（x，y）=0满足定理中的条件，所以它可以确定一个单值函数y=f(x,y)，,这时有,两边对x求导得,再由已知条件有,-,隐函数存在定理2,设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且,则方程F（x,y,z）=0在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域内能够确定一个单值连续且具有连续导数的函数y=f（x,y,z），它满足条件z0=f(x0,y0),且有公式,-,-,证明：（略）,所以,