第十四章 多元函数的微分学及其应用,141 多元函数的概念,一 一些基本概念,二 实值函数 向量值函数,三 二元函数定义域,四 二元函数的极限与连续,引言,微积分的研究对象是函数，我们已对一元函数作了一定 的研究，但实际问题往往更复杂，许多量的变化取决于 多个因素。这就需要我们对多元函数进行探讨。,距离,在距离的基础上给出“邻域”的概念。以下讨论R2,平面点集,平面上满足一定条件的点的集合，,用D表示。,2、邻域,是平面上一点,（圆形）邻域,（方形）邻域,3、内点,若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,则称 P 为 E 的内点,若存在点 P 的某邻域 U(P) E = ,则称 P 为 E 的外点 ;,若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E的外点 ,则称 P 为 E 的边界点。,显然, E 的内点必属于 E ,E 的外点必不属于 E ,E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .,4、外点,5、边界点,E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E 。,6、开集,若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集。,开区域连同它的边界一起称为闭区域.,1）开集与开区间有什么关系？,连通的开集称为开区域 ,简称区域。,7、开区域,E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E。,问题：,2）R1中的开集与开区间是什么？,8、闭区域 闭集,9、有限区域 无限区域,例如，在平面上,闭区域,开区域,有限区域,2,1,2,1,开集,非区域,无限区域,二 实值函数 向量值函数,1、二元函数,D是R2上非空点集，R是实数集，,自变量x，y,则称z是x，y的二元（实值）函数。,定义域D,因变量z,与之对应，,二元函数的图形通常是一张曲面.,2、n元函数,3、向量值函数,点函数,三 二元函数定义域,例1 求,解,所求定义域为,的定义域,四 二元函数极限与连续性,问题： “二重极限”与“二次极限”相等吗？,比较：,1）一元函数极限,2）二次极限,1、二重极限,例2 求二重极限,解：,解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限.,则有,k 值不同极限不同 !,在 (0,0) 点极限不存在 .,例3 讨论函数,而,例6 讨论函数,在(0,0)的极限,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,2、连续性,多元初等函数：,常量、具不同自变量的一元基本初等函数经有限次四则运算法则和复合运算过程而构成的函数。,如：,结论：,一切多元初等函数再其定义区域内连续。,如：,除点（0，0）外都连续。,又如：,上间断.,在圆周,作业：P76 1(1)(2) ，3， 4,