四、 旋转体的侧面积 (补充),三、已知平行截面面积的立体体积,第二节,一、 平面图形的面积,二、 平面曲线的弧长,定积分在几何学上的应用,第六章,一、平面图形的面积,1. 直角坐标情形,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,例3. 求椭圆,解: 利用对称性 ,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,例4. 求由摆线,的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .,解:,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,对应 从 0 变,例5. 计算阿基米德螺线,解:,到 2 所围图形面积 .,心形线,例6. 计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),心形线,心形线(外摆线的一种),即,尖点:,面积:,弧长:,参数的几何意义,点击图中任意点 动画开始或暂停,例7. 计算心形线,与圆,所围图形的面积 .,解: 利用对称性 ,所求面积,例8. 求双纽线,所围图形面积 .,解: 利用对称性 ,则所求面积为,思考: 用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分的面积 .,答案:,二、平面曲线的弧长,当折线段的最大,边长 0 时,折线的长度趋向于一个确定的极限 ,即,并称此曲线弧为可求长的.,定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.,(证明略),则称,(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(2) 曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分) :,因此所求弧长,(3) 曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分) :,(自己验证),例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,成悬链线 .,求这一段弧长 .,解:,下垂,悬链线方程为,例10. 求连续曲线段,解:,的弧长.,例11. 计算摆线,一拱,的弧长 .,解:,例12. 求阿基米德螺线,相应于 02,一段的弧长 .,解:,三、已知平行截面面积的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,上连续,特别 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,例13. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,例14. 计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .,解: 绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意上下限 !,注,注,注,分部积分,(利用“偶倍奇零”),柱壳体积,说明:,柱面面积,偶函数,奇函数,例15. 设,在 x0 时为连续的非负函数, 且,形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积 ,证明:,证:,利用柱壳法,则,故,例16. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并,与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,解: 垂直 x 轴的截面是椭圆,例17. 计算由曲面,所围立体(椭球体),它的面积为,因此椭球体体积为,特别当 a = b = c 时就是球体体积 .,的体积.,例18. 求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.,(1994 考研),解: 利用对称性 ,故旋转体体积为,在第一象限,四、旋转体的侧面积 (补充),设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体的侧面积,它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .,取侧面积元素:,侧面积元素,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的,注意:,侧面积为,的线性主部 .,不是薄片侧面积S,例19. 计算圆,x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .,解: 对曲线弧,应用公式得,当球台高 h 2 R 时, 得球的表面积公式,例20. 求由星形线,一周所得的旋转体的表面积 S .,解: 利用对称性,绕 x 轴旋转,星形线,星形线,星形线,星形线是内摆线的一种.,大圆半径 Ra,小圆半径,参数的几何意义,(当小圆在圆内沿圆周滚动,时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线),点击图片任意处 播放开始或暂停,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2. 平面曲线的弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小,3. 已知平行截面面积 A(x) 的立体体积,旋转体的体积,绕 x 轴 :,4. 旋转体的侧面积,侧面积元素为,(注意在不同坐标系下 ds 的表达式),绕 y 轴 :,(柱壳法),思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s .,提示: 交点为,弧线段部分,直线段部分,以 x 为积分变量 , 则要分,两段积分,故以 y 为积分变量.,2. 试用定积分求圆,绕 x 轴,上,半圆为,下,求体积 :,提示:,方法1 利用对称性,旋转而成的环体体积 V 及表面积 S .,方法2 用柱壳法,说明: 上式可变形为,此式反映了环体元素的另一种取法(如图所示).,求侧面积 :,利用对称性,上式也可写成,它也反映了环面元素的另一种取法:,作业,P284 2 (1) , (3) ; 3; 8 (2) ; 9; 22; 30,面积及弧长部分：,体积及表面积部分：,P286 13; 14 ; 15 (1), (4) ; 17,补充题: 设有曲线,过原点作其切线 , 求,由此曲线、切线及 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一,周所得到的旋转体的表面积.,第三节,备用题,解：,1. 求曲线,所围图形的面积.,显然,面积为,同理其它.,又,故在区域,分析曲线特点,2.,解:,与 x 轴所围面积,由图形的对称性 ,也合于所求., 为何值才能使,与 x 轴围成的面积等,故,3.,求曲线,图形的公共部分的面积 .,解：,与,所围成,得,所围区域的面积为,设平面图形 A 由,与,所确定 , 求,图形 A 绕直线 x 2 旋转一周所得旋转体的体积 .,提示：选 x 为积分变量.,旋转体的体积为,4.,若选 y 为积分变量, 则,