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一 寸 光 阴 不 可 轻 - 1 - 1999 年全国普通高等学校招生统一考试(理工农医类) 数 学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 I 卷 1 至 2 页。第 II 卷 3 至 8。共 150 分。考试时间 120 分钟。 第 I I 卷(选择题 共 60 分) 注意事项:注意事项: l答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型(A 或 B) 用铅笔涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后。再选涂其它答案,不能答在试题卷上。 3考试结束。监考人将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式:参考公式: 三角函数的积化和差公式 sin=cossin(+)+sin(-) cos=sinsin(+)-sin(-) cos=coscos(+)+cos(-) sin=sincos(+)-cos(-) 正棱台、圆台的侧面积公式: S 台侧=(c+c)L/2 其中 c和 c 表示圆台的上下底面的周长,L 表示斜高或母线长。 台体的体积公式: 其中 s,s分别表示上下底面积,h 表示高。 一、选择题:本大题共 14 小题;第 110 题每小题 4 分,第 1114 题每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1 如图,I 是全集,M、P、S 是 I 的 3 个子集,则阴影部分所表示的集合是 一 寸 光 阴 不 可 轻 - 2 - A(MP)S B(MP)S C(MP) D(MP) 2已知映射 f:AB,其中,集合 A=-3,-2,-1,l,2,3,4,集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象,且对任意的 aA,在 B 中和它对应的元素是a,则集合 B 中 元素的个数是 A4 B5 C6 D7 3若函数 yf(x)的反函数是 yg(x),f(a)=b,ab 0,则 g(b)等于 Aa Ba-1 Cb Db-1 4函数 f(x)Msin(x+)(0)在区间a,b上是增函数,且 f(a)=-M,f(b)=M, 则函数 g(x)=Mcos(x+)在a,b上 A是增函数 B是减函数 C可以取得最大值 M D可以取得最小值-M 5若 f(x)sinx 是周期为的奇函数,则 f(x)可以是 Asin x Bcos x Csin 2x Dcos 2x 6在极坐标系中,曲线4sin(-/3)关于 A直线=/3 轴对称 B直线=6/5轴对称 C点(2,/3)中心对称 D极点中心对称 7若于毫升水倒人底面半径为 2cm 的圆杜形器皿中,量得水面的高度为 6cm,若将这些水 倒人轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面的高度是 8若(2x+ )4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为 Al B-1 C0 D2 9直线 x+y2=0 截圆 x2+y2=4 得的劣弧所对的圆心角为 A/6 B/4 C/3 D/2 一 寸 光 阴 不 可 轻 - 3 - 10如图,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF/AB,EF=3/2, EF 与面 AC 的距离为 2,则该多面体的体积为 A9/2 B5 C6 D15/2 11若 sinatgactga(-/2ab0)的右焦点为 F1,右准线为 l1。若过 F1且垂直于 x 轴的 弦的长等于点 F1到 l1的距离,则椭圆的离心率是_。 一 寸 光 阴 不 可 轻 - 4 - 16在一块并排 10 垄的田地中,选择 2 垄分别种植 A、B 两种作物,每种作物种植一垄, 为有利于作物生长,要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 垄,则不同的选垄方法共有 _种(用数字作答)。 17若正数 a、b 满足 aba+b+3,则 ab 的取值范围是_。 18、是两个不同的平面,m、n 是平面及之外的两条不同直线。给出四个论断:mn n m以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认 为正确的一个命题:_。 三、解答题:本大题共 6 小题:共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 19 (本小题满分 10 分) 解不等式 20(本小题满分 12 分) 设复数 z3cosi2sin,y=-argZ(0mn 或 mn, ma, m=a 三、解答题 (19)本小题主要考查对数函数的性质,对数不等式、无理不等式解法等基础知识,考查分 类论的思想,满分 10 分 解:原不等式等价于 一一一一 4 由得 logax2/3 由得 logax1, 一 寸 光 阴 不 可 轻 - 8 - 由得 logax1/2. 由此得 2/3logax1.一一一一 8 分 当 a1 时得所求的解是 x| xa; 当 0a1 时得所求的解集是: x| x Ux|0xa.一一一一 10 分 (20)本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识,考查综合运用所学 数学知识解决问题的能力,满分 12 分。 解:由 0/2 得 tg0。 由 z=3cos+i2sin, 得 0argz/2 及 tg(argz)=2sin/3cos=2/3tg. 故 tgy=tg(-argz)=(tg-2/3tg)/(1+2/3tg2) =1/(3/tg+2tg) 3/tg+2tg2 1/(3/tg+2tg) /12. 当且仅当 3/tg=2tg(0O, /a0,对上式两端取对数,得 nlg(l-ro)lg(/a). 一 寸 光 阴 不 可 轻 - 11 - 由于 lg(1-ro)1 时,y=f(x)的定义域为0,b/(b-1); 当 0b1 时,yf(x)的定义域为0,+ 一一 10 分 (24)本小题主要考查曲线与方程,直线和圆锥曲线等基础知识,以及求动点轨迹的基本技 能和综合运用数学知识解决问题的能力。满分 14 分。 解法一:依题意,记 B(1,b)(bR),则直线 OA 和 OB 的方程分别为 y0 和 ybx,设点 C(x,y),则有 0 xa,由 OC 平分AOB,知点 C 到 OA、OB 距离相等, 根据点到直线的距离公式得 |y|=|y+bx|/ 4 分 一 寸 光 阴 不 可 轻 - 13 - 依题设,点 C 在直线 AB 上,故有 y=-b/(1+a)(x-a). 6 分 由 x-a0,得 b=-(1+a)y/(x-a). 将式代入式得 y21+(1+a)2y2/(x-a)2=y-(1+a)xy/x-a2, 整理得 y2(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0. 9 分 若 y0,则(1-a)x2-2as+(1+a)y2=0(0xa); 若 y=0,则 b=0,AOB,点 C 的坐标为(0,0),满足上式, 综上得点 C 的轨迹方程为 (1-a)a2-2ax+(1+A)y2=0(0 xa), 10 分 a1, x-a/(1-a)2/a/(1-a)2+y2/a2/(1-a2) =1(0 x1 时,方程 表示双曲线一支的弧段。 14 分 解法二:如图,设 D 是 l 与 x 轴的交点,过点 C 作 CEx 轴,E 是垂足。 (1)当|BD|0 时,设点 C(x,y),则 0xa y0. 由 CEBD 得 |BD|=|CE|DA|/|EA|=|y|/a-x(1+a). 3 分 COA=COB=COD-BOD=-COA-BOD, 2COA=-BOD, tg(2COA)=2tgCOA/(1-tg2COA), tg(-BOD)=-tgBOD, tgCOA=|y|/x, tgBOD = |BD|/|OD|=|y|/a-x(1+a). 2|y|/x/1-(y2/x2)=|y|/(a-x)(1+a), 整理得 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0xa). (II) 当|BD|=0 时,BOA,则点 C 的坐标为(0,0),满足上式。 综合(I)(II),得点 C 的轨迹方程为 (1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0 xa) 10 分 以下同解法一。
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