-链式法则,第四节 复合函数的求导法则,回顾：一元复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),情形一: 中间变量为多元函数,解,证,情形二:中间变量为一元函数,单路全导, 叉路偏导,定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,以上公式中的导数 称为全导数.,另证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量,有增量u ,v ,( 全导数公式 ),(t0 时,根式前加“”号),解法1,解法2,解法1,解法2,情形三:中间变量既有一元函数,又有多元函数,特别一:,即,令,其中,两者的区别,区别类似,解,解,小结：（多元复合函数求偏导数链式法则，应注意以下几点）,（1）先要搞清复合关系，哪些是自变量，哪些是中间变量，要画结构图； （2）对某个自变量求偏导数时，要经过一切与其有关的中间变量，最后归结到该自变量。 （3）求抽象函数的二阶偏导数时要注意，对一切一阶偏导数来说其结构图仍与原来函数的结构图相同。,解,令,记,同理有,二、多元复合函数的高阶偏导数,于是,注意：,三、全微分形式不变性,全微分形式不变性的实质： 无论z是自变量u、v 的函数或中间变量u、v 的函数，它的全微分形式是一样的.,补充:全微分形式不变性,无论 是自变量 的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的.,例1 .,解:,所以,链式法则（分三种情况）,（特别要注意课中所讲的特殊情况;在计算过程中要结合结构图！）,二、小结,思考题,答：,练 习 题,练习题答案,