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- 1 - 5 余弦函数( 2 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)了解任意角的余弦函数概念;(2)理解余弦函数的几何意义;(3)掌握余弦函数的诱导 公式;(4)能利用五点作图法作出余弦函数在0 ,2 上的图像;(5)熟练根据余弦函数的 图像推导出余弦函数的性质;( 6)能区别正、余弦函数之间的关系;(7)掌握利用数形结合 思想分析问题、解决问题的技能。 过程与方法 类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;在正、余弦函数定义的基础上,将三角函数定 义推广到更加一般的情况;让学生通过类比,联系正弦函数的诱导公式,自主探究出余弦函 数的诱导公式;能学以致用,尝试用五点作图法作出余弦函数的图像,并能结合图像分析得 到余弦函数的性质。 情感态度与价值观 使同学们对余弦函数的概念有更深的体会;会用联系的观点看问题,建立数形结合的思想, 激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的 喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生 形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点 : 余弦函数的概念和诱导公式,以及余弦函数的性质。 难点 : 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。 三、学法与教学用具 我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定义的形式给出来的,从而把锐角 的正弦函数推广到任意角的情况;现在我们就应该与正弦函数的概念作比较,得出余弦函数 的概念;同样地,可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公式。用五点作图的方 法作出 ycosx 在0 ,2 上的图像,并由图像直观得到其性质。 教学用具 : 投影机、三角板 第一课时余弦函数的概念和诱导公式 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 在初中,我们不但学习了正弦函数,也学习了余弦函数,sin 斜边 邻边 。同样地,当我们把 - 2 - 角放在平面直角坐标系中以后,就可以得到余弦函数的定义。 下面请同学们类比正弦函数的定义,自主学习课本P30P31. 【探究新知】 1余弦函数的定义 在直角坐标系中,设任意角与单位圆交于点P(a,b), 那么点 P的横坐标a 叫做角余弦函数,记作:a cos( R). 通常我们用x, y 分别表示自变量与因变量,将余弦函数表示 为 ycosx(x R). 如图,有向线段OM称为角的余弦线。 其实,由相似三角形的知识,我们知道,只要已知角 的终边上任意一点P的坐标( a,b) ,求出 |OP| ,记为 r ,则 角的正弦和余弦分别为:sin r b ,cosr a . 在今后的解题中,我们可以直接运用这种方法,简化运算过程。 2余弦函数的诱导公式 从右图不难看出,角和角2, 2,()的终边 与单位圆的交点的横坐标是相同的,所以,它们的余弦函数值相等; 角和角,的终边与单位圆的交点的横坐标是相反数, 所以,它们的余弦函数值互为相反数。 由此归纳出公式: cos(2 ) cos cos( ) cos cos(2 ) cos cos( ) cos cos( ) cos 请同学们观察右图,角与角 2的正弦、余弦函数值有什么关 系?由图可知,RtOMP RtOM P, 点 P的横坐标cos与点 P的纵坐标sin( 2 ) 相等;点P的纵坐标sin 与点 P的横坐标cos( 2 ) 互为相反数。我们可以得到: sin( 2 ) cos cos(2 ) sin 问题与思考:验证公式 sin(2 ) cos cos(2 ) sin O r x y P(a,b) M x y o P P(x,y) M M - 3 - 以上公式统称为诱导公式,其中可以是任意角。利用诱导公式,可以将任意角的正、余弦 函数问题转化为锐角的正、余弦函数问题。 【巩固深化,发展思维】 例题讲评 例 1已知角的终边经过点P(2, 4)( 如图 ) ,求角的余弦 函数值。 解: x2, y 4 , r |OP| 2 5 cos r x 5 5 例 2如果将例1 中点 P的坐标改为( 2t , 4t )(t 0) ,那么怎样求角的余弦函数值。 解: ( 提示:在r|OP| 2 5 |t|中,分 t 0 和 t 0 两种情况,见教材P31) 例 3求值: (1) cos 6 11 (2)cos 8 9 (3)cos( 4 3 ) (4) cos( 1650 ) (5)cos( 15015) 解: ( 1)cos 6 11 cos( 2 6) cos62 3 ( 2)cos 8 9 cos( 8) cos8 0.9239 (3)、 (4) 、 (5)略,见教材P33 例 4化简: cos3coscos 3cos2cos 解: (略,见教材P33) 学生练习 教材 P31的练习 1、2、 3 和 P34的练习 1、2、 3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思 2 y 4 P x
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