第13章 全等三角形,13.5 逆命题与逆定理,2 线段的垂直平分线,高 速 公 路,A,B,在某高速公路l的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?,生活中的数学,l,问题引入,线段垂直平分线的性质定理,如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连结PA、PB.将线段AB沿直线MN对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.,对折后PA、PB能够完全重合，PA=PB.,线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？,新课讲解,下面我们来证明刚才得到的结论：,你能用一句话来描述刚得到的结论吗？,新课讲解,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,线段垂直平分线的性质定理：,几何语言叙述: 点P在线段AB的垂直平分线上（或PCAB，AC=BC）， PA=PB.,新课讲解,这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？,写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？,一个点在线段的垂直平分线上,这个点到线段两端的距离相等,一个点到线段两端的距离相等,这个点在线段的垂直平分线上,想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？,线段垂直平分线的判定定理,新课讲解,逆命题 如果一个点到线段两端的距离相等，那么这个点在线段的垂直平分线上.,已知： 如图，QAQB.,求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上,分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q作线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB； 也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，然后证明QC垂直于线段AB,新课讲解,证明：过点Q作MNAB，垂足为点C， 故QCA=QCB=90. 在RtQCA 和RtQCB中， QA=QB，QC=QC， RtQCARtQCB（H.L.）. AC=BC. 点Q在线段AB的垂直平分线上,已知： 如图，QAQB.,求证： 点Q在线段AB的垂直平分线上,你能根据分析中后一种添加辅助线的方法，写出它的证明过程吗？,新课讲解,线段垂直平分线的判定,应用格式： PA =PB， 点P 在AB 的垂直平分线上,作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.,定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.,新课讲解,利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后， 你发现了什么？,发现：三角形三边的垂直平分线交于一点这一点到三角形三个顶点的距离相等,怎样证明这个结论呢?,新课讲解,点拨：要证明三条直线相交于一点，只要证明其中两条直线的交点在第三条直线上即可.思路可表示如下：,试试看，你会写出证明过程吗？,B,C,A,P,l,n,m,新课讲解,证明：连结PA、PB、PC. 点P在AB，AC的垂直平分线上， PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）. PB=PC. 点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）.,B,C,A,P,l,n,m,新课讲解,1.如图所示，AC=AD,BC=BD,则下列说法正确的是（） AAB垂直平分CD B CD垂直平分AB CAB与CD互相垂直平分 DCD平分 ACB,2.已知线段AB，在平面上找到三个点D、E、F，使DADB，EAEB,FAFB，这样的点在组合共有种.,A,无数,随堂即练,3.下列说法： 若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB， PAPB； 若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB； 若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； 若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB 其中正确的有 （填序号）., ,随堂即练,4.在锐角三角形ABC内一点P,，满足PA=PB=PC,则点P是 ABC ( ) A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点,D,随堂即练,5.如图，ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点E,连结BE，AB+BC=16cm,则BCE的周长是 cm.,16,随堂即练,线段的垂直平分的性质和判定,性质,到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,内容,判定,内容,作用,线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等,作用,见垂直平分线，得线段相等,判断一个点是否在线段的垂直平分线上,课堂总结,