2020/8/2,.,1,概率论与数理统计,Probability A,B出现, C不出现; 三个事件都出现; 三个事件至少有一个出现; 三个事件都不出现; 不多于一个事件出现; 不多于两个事件出现; 三个事件至少有两个出现; A, B 至少有一个出现, C 不出现; A，B，C 中恰好有两个出现。,2020/8/2,.,39,解,2020/8/2,.,40,概率论研究的一个基本任务就是给随机事件发生的可能性大小一个合理而科学的测度。,1.2事件发生的概率,这也就意味着我们需要找到一个定义在一个由随机试验的所有随机事件构成的集合上的集函数使得它能科学合理的反映集合当中每个元素发生的可能性大小。,2020/8/2,.,41,1.2.1 古典概型中的概率定义,我们称具有下列两个特点的随机试验为古典概型：,（1）试验只有有限个可能的的基本结果;,（2）每次试验中，每个样本点出现的可能性相同。,古典概型中的概率定义，只适用于古典概型。,2020/8/2,.,42,例1.7 将一枚硬币抛掷3次。（1）设事件A1为恰有一次出现正面，求P(A1)。（2）设事件A2为至少有一次出现正面，求P(A2)。,解：,该实验的样本空间=HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT。,（1）因为A1=HTT，THT，TTH，,故 P(A1)=3/8。,2020/8/2,.,43,例1.8,设一批产品有a件次品，b件合格品，随机从中抽取n件产品，求抽到的n件产品中正好有k件是次品的概率。,考虑如下两种情况:,（1）有放回抽取 （2）不放回抽取,记 A=抽到的n件产品正好有k件次品,2020/8/2,.,44,样本空间中的样本点总数为,（1）有放回抽取,概率论中称为是二项分布的概率公式,2020/8/2,.,45,（2）无放回抽取,概率论中称为超几何分布的概率公式,恰好取出k个次品的组合数,2020/8/2,.,46,例1.9 30只元件中有27只一等品，3只二等品。随机将30只元件平均分装入三盒，求： （1）每盒有一只二等品的概率； （2）有一盒有3只二等品的概率。,解： （1）把3只二等品平均分到三个盒子有：,1,2,3,3x2x1种分法。,余下的27只应该平 均分到3个盒子中；,2020/8/2,.,47,第2个问题，首先从3个盒子中任选一个 出来放3只二等品，这个盒子的另7只从 余下的27个一等品中选；,2020/8/2,.,48,2020/8/2,.,49,1.2.2几何概型中的概率定义,若随机试验E的样本空间是某一有界可度量的区域（可以是一维，二维，n维空间的），此区域中每个点都是E的一个样本点，其样本点具有所谓的“均匀性质”，即样本点落入中任意一子区域A的概率与A的测度（长度，面积，体积等）成正比，而与A的形状和位置无关，我们称这种随机试验为几何概率模型。,定义 设E为几何概型,A为其任意一个事件，它的样本空间的测度为()， (A)为事件A的测度，则事件A的概率为,2020/8/2,.,50,例1.10 随机在单位圆内掷一点M，求M点到原点距离小于1/4的概率。,1,1/4,解：,2020/8/2,.,51,例1.11 某货运码头仅能容一船卸货，而甲、乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙两船在24小时内随时可能到达，求它们中任何一船都不需要等待码头空出的概率。,解：,2020/8/2,.,52,24,Y=x+1,Y=x-2,2020/8/2,.,53,2020/8/2,.,54,零概率事件不一定不发生,例如在0,1区间上任意取一个随机数,则这个随机数恰好等于0.5的概率是多少?,P=点(0.5)的长度/0,1区间的长度=0,2020/8/2,.,55,1.2.3概率的统计定义,大量实践表明：事件发生频率有波动性，但随着试验次数增加，事件发生频率会呈现某种稳定性，即频率会稳定在某个值附近摆动，且n越大摆动幅度越小。,设A是随机试验E的一个随机事件，若在n次重复试验中，事件A发生了k次，则称比值k/n为事件A在n次试验中发生的频率，记为fn(A)。,在历史上，为了验证这一点，许多学者对抛硬币进行了观察，一些记录如下表所示:,2020/8/2,.,56,正面出现的频率,抛掷次数的增加,1/2,2020/8/2,.,57,容易验证，频率具有下列性质：,2020/8/2,.,58,概率的统计定义,设在相同条件下重复进行的n次试验, 事件A出现了k次。若随着试验次数n的增大，事件A发生的频率f（）稳定地在某一常数P附近摆动, 且n越大,摆动幅度越小, 则称P为事件A在一次试验中发生的概率, 记作P（A）。,2.以上概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随机试验，在理论和实践上都有一定的意义。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概率的近似值，也提供了一种检验理论正确与否的准则；不足是粗糙、模糊和不便使用。,注,2020/8/2,.,59,设E是随机试验，是它的样本空间。对于每一个事件A赋予一个实数 P（A）,称为事件A 的概率，如果集合函数P（）满足以下三条：,1.2.4 概率的公理化定义,非负性,规范性,可列可加性,1933年，（前）苏联数学家柯尔莫哥落夫提出的,2020/8/2,.,60,1.3 概率的性质,性质1,证明：因,，由可列可叫性，,所以，,概率的有限可加性,这里的概率是公理化定义中的概率,2020/8/2,.,61,证明：,且,则由可列可加性，有,2020/8/2,.,62,性质3 设A，B是随机试验E的两个事件，且,证明：,2020/8/2,.,63,性质4,证明：,性质5,2020/8/2,.,64,证明：,由图可得,又由性质3得,因此得,2020/8/2,.,65,加法公式可以推广到有限个事件的情况，下面给出三个事件的情况,2020/8/2,.,66,例1.12 A，B为两事件，已知,解：,A,AB,B,2020/8/2,.,67,2020/8/2,.,68,1.4 条件概率与事件的独立性,2020/8/2,.,69,1.4.1 条件概率,定义：设A，B是两个事件，且P(B)0，则称,为已知事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。,2020/8/2,.,70,例1.13 在有两个小孩的家庭中, 考虑其性别，已知其中一个是女孩,问另一个也是女孩的概率是多少?(假定生男生女是等可能的),解法一: 考虑样本空间: 男，女），（女，女）,记A=另一个也是女孩,则 P(A)=1/2.,解法二: 考虑样本空间: 男，男，男，女），（女，女）,2020/8/2,.,71,记B=两个孩子中至少有一个是女孩，C=两个都是女孩。,则已知一个是女孩的条件下，另一个也是女孩的概率等价于已知B发生的条件下，C发生的概率。,记为P(C|B),解法二,2020/8/2,.,72,例1.14 袋中有7个白球和3个黑球，从中无放回地随机摸3个球，已知其中之一是黑球，试求其余两球都是白球的概率。,解：设A=取出的3个球中至少有一个是黑球，B=一黑二白。 故所求事件的概率为P(BA)。,方法1.利用条件概率定义计算。此时样本空间的样本点总数为 ,事件A包含的样本点数 。,事件AB包含的样本点数 。,2020/8/2,.,73,方法2. 考虑已知A发生的条件下的样本空间，则,易知,条件概率具有概率的一切性质:,2020/8/2,.,74,例1.15 某种动物由出生算起活20岁以上的概率0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是多少?,解：设A表示“一动物能活20岁以上”，B表示“一动物能活25岁以上”,则有,2020/8/2,.,75,5.乘法公式,2020/8/2,.,76,抓阄是否与次序有关?,例1.16 五个阄, 其中两个阄内写着“有”字， 三个阄内不写字，五人依次抓取,问每个人抓到“有”字阄的概率是否相同?,则有,2020/8/2,.,77,依此类推,故抓阄与次序无关。,2020/8/2,.,78,1.4.2事件的独立性,先看一个例子 一个盒子中有只黑球、只白球，从中有放回地摸球。求（1）第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率；（2）第二次摸到黑球的概率。设A表示“第一次摸到黑球”；B表示“第二次摸到黑球”。,从结果可以看出：第一次抽到黑球并没有影响到第二次抽到黑球的概率，即在这个试验中，有P(BA)=P(B)。,所以，P（AB）=P(A)P(B),容易计算得：,2020/8/2,.,79,定义2 设A,B是任意两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立。,两个非零概率事件A与B相互独立的实质是： “事件A发生与事件B发生互不影响”,定理 下列四组事件相互独立性等价。,2020/8/2,.,80,证明：只证明,另一方面,2020/8/2,.,81,事件独立性的推广,有限个事件的独立性,2020/8/2,.,82,2020/8/2,.,83,例1.17 设一均匀堆成的四面体，第一面涂为红色，第二面涂为黄色，第三面涂为篮色，第四面红黄蓝三种颜色各涂一部分。旋转上抛，下落到地面后，观察接触地面面的颜色。记A1表示接触地面面有红色；A2表示接触地面面有黄色；A3表示接触地面面有蓝色。试判断的独立性。,解：由题设条件与古典概率定义有,2020/8/2,.,84,直觉未必可信 必须深入研究,从而,但是,2020/8/2,.,85,例1.18 3人独立地破译一组密码，他们各自能破译密码的概率分别为1/5，1/3，1/4。试求此密码能被破译出的概率。,解：设Ai=第i个人破译出密码,i=1,2,3。,解法一：,解法二：,则密码能被破译出这一事件可表示为A1+A2+A3。,2020/8/2,.,86,1.5全概率公式与贝叶斯公式,例1.19 一在线计算机系统,有3条输入线,其性质如下表:,通讯线,通讯量份额,无误差的讯息份额,1,2,3,0.4,0.35,0.25,0.9998,0.9999,0.9997,(1)求一随机选择的进入讯号无误差地被 接受的概率;,2020/8/2,.,87,例1.19(续),解: 设事件B:“一讯号无误差地被接受”,Ai：“讯号来自于第i条通讯线”，i=1,2,3,由题意，问题转化为B=BA1+BA2+BA3，所以，,2020/8/2,.,88,例1.19(续),我们的思路：是把样本 空间分割成了3个不相 交的部分，这样，事件 B也被分割成3部分：,利用乘法 公式可得,2020/8/2,.,89,例1.19 (续),(2)已知一讯号是有误差地被接受,则这一讯号最有可能来自哪条通讯线路?,（本质是一个条件概率）,2020/8/2,.,90,全概率与Bayes公式,设A1,A2, ，An是随机试验E的一个互斥事件完备群，若P(Ai)0，i=1，n，则对E的任意事件B，有,全概率公式,Bayes公式,2020/8/2,.,91,图示,证明,化整为零 各个击破,全概率公式的证明,2020/8/2,.,92,例1.20 一盒中装有12个球,其中8个是新球,第一次比赛从盒中任取两球,使用后放入盒中,第二次比赛时再从盒中任取两球,求:,(1)第2次取出两个新球的概率,(2)已知第2次取出两个新球,而第一次 仅取出1个新球的概率.,解:把第1次取球的所有可能情况,作为样本空间的划分。 记Ai=第1次取出i个新球,i=0,1,2. B=第二次取出两个新球。则由全概率公式和贝叶斯公式,2020/8/2,.,93,例1.20(续),=0.5333,2020/8/2,.,94,1.5贝努利概型,例如，假设每个同学到图书馆去只有两个结果：借书或不借书。显然,每个同学是否借书是相互独立的,如果每个同学借书的概率是p,那么观察n个同学到图书馆的借书情况就构成一个n重贝努利试验.