第八章 多元函数微分法及其应用9-1多元函数的基本概念,例1 .指出集合 的所有聚点及其边界。,例2 判别 是开区域还是闭区域，是有界集还是无 界集。,例3指出下列点集是开区域，还是 闭区域，是有界集，还是无界 集，并指出它的边界,例4求函数 的定义域，并用图形表示。,例5设 求证,例6 设 证明,例设函数 证明当点 沿通过原点的 任意直线 趋于 时 函数 皆存在极限，且极 限都相等，但是此函数在原点不存 在极限。,例求,例求,例10求,例11设 ， 证明 是 上的连续 函数。,例12为了使函数在原点 连续，怎样定义 的 值，其中,例13证明函数 分别对每个自变量 （另一 个看作常数）都连续，但作为二元 函数在原点 不连续。,例14求函数 的间断点。,例15 求,例16求,9-2偏导数,例1求函数,例2求 的偏导数。,例3设 求证,例4求 的偏导数。,例5求 在点 处的偏导数。,例6已知理想气体的状态方 程 （R是常量） 求证,例7函数 说明此函数在点 的两个偏 导数存在但在 不连续。,例8设 求,例9证明函数 满足方程 ， 其中 。,例10设 求 并证明,9-3 全微分,例1证明函数 在点 处连续，偏导数存 在，但不可微。,例2已知函数 说明 在 可微，但 偏导数在原点不连续。,例3计算函数 的全微分。 例4计算函数 在点 的全微分。,例5计算函数 的全微分。 例6计算函数 在点 的全微分。,9-4 多元复合函数的求导法则,例1设 而 求全导数,例2设 而 求 。,例3设 而 求 。,例4设 具 有二阶连续偏导数， 求,例5设 的所有二阶 偏导数连续，把下列表达式转 换为极坐标系中的形式,例6利用全微分形式的不变 性，求 。 设,例7设 具有二阶连续偏导数， 求 。,例8设 其中 有二阶连续偏导数， 二阶可导，求,9-5 隐函数的求导公式,例1验证方程 在点 的某一邻域内能唯一确定一个 有连续导数，当 时 的隐 函数 ，并求这个函数的 一阶及二阶导数在 的值。,隐函数存在定理2 设函数 的某一 邻域内具有连续偏导数，且 则方程 的某 一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有 连续偏导数的函数 它满足条 件 并有,例2设 求 。,例3设 为由 方程 所确定的隐函数，求 。,例4设函数 由 方程 确定， 且 可微， 求 。,隐函数存在定理3 设 在点 的某一邻域内具有对各个 变量的连续偏导数，又 且偏导数所组成的 函数行列式 （或称雅可比 式）,在点 不等于零，则方程 组 在点 的某一邻域内恒能 唯一确定一组连续且具有连续偏导数的 函数 ，它们 满足条件,并有,例5设 求 。,例6设函数 在点 的某一邻域内连续且有 连续偏导数，又 。 （1）证明方程组 在点 的某一邻域内唯一确定一组连续且具有 连续偏导数的反函数 （2）求反函数 对 的偏导数。,例7设 求 。,9-6 多元函数微分学的几何应用,（三）向量值函数的极限 1.定义：设向量值函数 在点 的 某一去心邻域内有定义，如果存在一个 常向量 ，对于任意给定的正数 ，总 存在正数 ，使得当 t 满足 对应的函数值 都满足不等式 那么，常向量 叫做向 量值函数 当 时的极限， 记作,2.性质：向量值函数 当 时 的极限存在的充分必要条件是： 的 三个分量函数 当 时的极限存在，在函数 当 时的极限存在时。,（四）向量值函数 的连续性 1.定义：设向量值函数 在点 的 某一邻域内有定义，若 则称向量值函数 在 连续。 2.性质：向量值函数 在 连续 的充分必要条件是： 的三个分量 函数,都在 连续。,3. 是 上的连续函数 设向量值函数 , 在 中的每一点处都连续， 则称 在 上连续，并称 是 上的连续函数。,（五）向量值函数 的导数 1.定义：设向量值函数 在点 的某一邻域内有定义，如果 存在，那么 就称这个极限向量为向量函数 在 处的导数（或导向量）， 记 。,2.性质：向量值函数 在 可 导（即存在导数）的充分必要条件 是 的三个分量函数 都在 可导，当 在 可导 时，其导数 。,3. 在 上可导 设向量值函数 ， 若 在 中的每一点 处都存在导向量 ，那么就 称 在 上可导。,4.向量值函数求导运算法则 设 是可导的向量值函 数， 是常向量，C是任一常数， 是可导的数量函数，,则,例1设 求 。,例2设空间曲线 的向量方程为 求曲线 在与 相应点处的单 位切向量。,例3 一个人在悬挂式滑翔机上由于 快速上升气流而沿位置向量为 的路径螺旋式向上，求 （1）滑翔机在任意时刻t的速度向量 和加速度向量。 （2）滑翔机在任意时刻t的速率。 （3）滑翔机在任意时刻的速度和加速 度正交的时刻。,例4求空间曲线 在 处的的切线及法平面方程。,例5求曲线 上与平面 平行的切线方程。,例6求曲线 在点 处的切线及法平面 方程。,例7求曲面 上垂直于直线 的切平面方程。,例8证明曲面 上任意一点的切平面与不在其上的 直线 平行 （ 为常数）。,例6平面 与椭球面 相切，求 等于多少。,9-7 方向导数与梯度,例1说明函数 在点 处沿任意方向 的方向导 数都存在，且有 而偏导数 都不存在。,例2求函数 在点 到点 的方向的方向导数。,例3求 在点 沿方向 的方向 导数，其中 的方向角分别为 。,例4求二元函数 在点 沿方向 的方向导数及梯度，并指出 在该 点沿哪个方向减少的最快，沿哪个方 向的方向导数为为零。,例5设函数 在 处沿 的方向导数是1，沿 的方向导数是-3，求 在 沿 的方向导数。,例6设 求 （1） 在 处增加最快的方向以及 沿这个方向的方向导数。 （2） 在 处减少最快的方向以及 沿这个方向的方向导数。 （3） 在 处的变化率为零的方向。,例7设 问 在 处沿什么方向 变化最快，在这个方向的变化率是 多少？,例8求曲面 在点 得切平面和法线 方程。,例9设 求 。,例10试求数量场 所产生梯度 场，其中常数 为原点 间的距离。,9-8 多元函数的极值及其求法,例1求函数 的极值。,例2求函数 的极值。,例3某厂要用铁板做成一个体 积为 的有盖长方体水箱， 问当长、宽、高各取怎样的尺寸 时，才能使用料最省。,例4求函数 在 和 所围成的闭区域D上的最大值和 最小值。,例5有一宽为 的长方形铁 板，把它两边折起来做成一断面为 等腰梯形的水槽，问怎样折法才能 使断面的面积最大？,例6求表面积为 而体积为 最大的长方体的体积。 例7求函数 在附加条件 下的极值。,