因式分解十字相乘法,知识回顾,举例说明因式分解与整式乘法的关系 .我们已经学习了哪些因式分解的方法？ 提公因式法: ma+mb+mc=m(a+b+c) 运用公式法: a2-b2=(a+b)(a-b) a2 2ab+b2=(a b)2,(5) 3ax2+6ax+3a,(4) x5 - x3,(1) x4 - y4,(2) (y2 + x2 )2 - 4x2y2,(6) 2ax2+6ax+4a,(3) x4-8x2+16,.把下列各式因式分解：,解:(1) x4 - y4=(x2+y2)(x2-y2) = (x2+y2)(x+y)(x-y),(2) (y2 + x2 )2 - 4x2y2 =(y2 + x2 +2xy) (y2 + x2 -2xy) =(x+y)2(x-y)2,(3) x4-8x2+16=(x2-4)2 =(x+2)2(x-2)2,(4) x5 - x3=x3(x2-1)=x3(x+1)(x-1),(5) 3ax2+6ax+3a=3a(x2+2x+1) =3a(x+1)2,(6) 2ax2+6ax+4a=2a(x2+3x+2),你认为这个多项式因式还能分解吗？,=2a(x+1)(x+2),十字相乘法分解因式（1）,1.(x+2)(x+1)=,x2+3x+2,3.(x-2)(x+1)=,x2-x-2,4.(x-2)(x-1)=,x2-3x+2,2.(x+2)(x-1)=,x2+x-2,5.(x+2)(x+3)=,x2+5x+6,6.(x+2)(x-3)=,x2-x-6,7.(x-2)(x+3)=,x2+x-6,8.(x-2)(x-3)=,x2-5x+6,(x+a)(x+b),=x2+(a+b)x+ab,请直接口答计算结果：,(x+2)(x+1),x2+3x+2,(x-2)(x+1),x2-x-2,(x-2)(x-1),x2-3x+2,(x+2)(x-1),x2+x-2,(x+2)(x+3),x2+5x+6,(x+2)(x-3),x2-x-6,(x-2)(x+3),x2+x-6,(x-2)(x-3),x2-5x+6,(x+a)(x+b),=,x2+(a+b)x+ab,=,=,=,=,=,=,=,=,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab,观察与发现,两个一次二项式相乘的积,一个二次三项式,整式的乘法,反过来，得,x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b),一个二次三项式,两个一次二项式相乘的积,因式分解,如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，即q=ab而且一次项系数p又恰好是a、b的和，即p=a+b，那么x2+px+q就可以进行如上的因式分解。,分析 (+1) (+2)2 (+1)(+2)+3,试一试：把x2+3x+2分解因式,常数项,一次项系数,十字交叉线,利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。,请大家记住公式,例1：,分解因式: x2+4x+3= x2-2x-3=,(x+3)(x+1),(x-3)(x+1),x,x,x,x,3,1,-3,1,练一练,将下列各式用十字相乘法进行因式分解,(1)x2-7x+12 (2)x2-4x-12 (3)x2+8x+12 (4)x2-11x-12 (5)x2+13x+12 (6)x2-x-12,探索规律,对于x2+px+q （1）当q0时，a、b，且a、b的符号与p的符号。 （2）当q0时，a、b，且 与p的符号相同。,同号,相同,异号,a、b中绝对值较大的因数,例：试将,分解因式,提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解 。,独立练习：把下列各式分解因式,课堂小结,对二次三项式x2+px+q用x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)进行因式分解，应重点掌握以下问题：,2.掌握方法：拆分常数项，验证一次项.,3.符号规律： 当q0时，a、b同号，且a、b的符号与p的符号相同； 当q0时，a、b异号，且绝对值较大的因数与p的符号相同.,1.适用范围：只有当q=ab，且p=a+b时 才能用十字相乘法进 我 行分解。,用十字相乘法进行因式分解：,(x+2)(x-3),1.x2-x- 6 =,(x-3)(x+5),2.x2+2x-15=,(x+2)(x-5),3.x2-3x-10=,(x-5)(x-4),4.x2-9x+20=,(x-7)(x+4),5.x2-3x-28=,(x+2)(x-4),6.x2-2x-8=,(x-1)(x-3),7.x2-4x+3=,(x+3)(x+4),(x+2)(x+3),(x-3)(x+7),8.x2+7x+12=,9.x2+5x+6=,10.x2+4x-21=,(y+12)(y-3),13.y2+9y-36=,(y+4)(y-15),(y+16)(y+3),(y+11)(y-10),(y-13)(y-3),(y+14)(y+4),14.y2-11y-60=,15.y2+19y+48=,16.y2+y-110=,17.y2-16y+39=,18.y2+18y+56=,12.x2-11x-12=,(x-12)(x+1),11.x2+13x+12=,(x+1)(x+12),比比谁的速度快！,19.x2+(a-1)x-a=,(x+a)(x-1),20.(x+y) 2+8(x+y)-48=,(x+y+12)(x+y-4),十字相乘法分解因式（2）,本节课解决两个问题： 第一：对形如ax2+bx+c (a0)的二次三项式 进行因式分解； 第二：对形如ax2+bxy+cy2 (a0)的二次三项式 进行因式分解；,(a1x+c1) (a2x+c2) =ax2+bx+c (a0),ax2+bx+c=(a1x+c1) (a2x+c2) (a0),整式运算,因式分解,(a1x+c1y) (a2x+c2y) =ax2+bxy+cy2,ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y) (a2x+c2y),整式运算,因式分解,例1:2x27x+3,总结: 1、由常数项的符号确定分解的两数的符号 2、由一次项系数确定分解的方向 3、勿忘检验分解的合理性,解：原式=(2x-1)(x-3),=(x3)(3x1),=(5x3y)(x4y),例4 .将 2(6x2 x) 211(6x2 x) 5 分解因式,解：2(6x2 x)211(6x2 x) 5,= (6x2 x) 52(6x2 x)1,= (6x2 x5) (12x2 2x1 ),= (6x 5)(x 1) (12x2 2x1 ),练习：将下列各式分解因式,答案(7x-6)(x-1),答案 (y6)(y2),答案 (3xy)(5x4y),答案 (x1)(xa),5、x2+11xy+10y2; 6、2x2-7xy+3y2; 7、-3a2+15ab-12b2; 8、,答案(x+10y)(x+y),答案 (2x-y)(x-3y),答案 -3(a-b)(a-4b),答案 1/4(a-5b)(a+2b),思考题：把下列各式分解因式,(1)(-x+5y)(3x-y) (2)(2x-2y+1)(x-y-2),(1),(2),（3）(x+y)2-4(x+y)-5,（4）(m+n)2-5(m+n)+6,=(x+y+1)(x+y-5),=(m+n-2)(m+n-3),（5） y2-2y(x-1)-15(x-1)2,=y+3(x-1)y-5 (x-1),=(y+3x-3)(y-5 x+5),(6) a2-12a(b+c)+36(b+c)2,=a-6(b+c)a-6 (b+c),=(a-6b-6c)2,例5 将 2x23xy2y2 3x4y2 分解因式,=(2x y)(x2y)3x4y2,=(2x y1)(x2y2),例6. 分解因式(x22x)22(x22x)3 【解】(x22x)22(x22x)3 (x22x3)(x22x1) (x3)(x1)(x1)2,2.将2x27xy22y25x35y3分解因式,1.将(a2+8a)2+22(a2+8a)+120分解因式,3.因式分解： (1)x2-3xy-10y2+x+9y-2； (2)x2-y2+5x+3y+4； (3)xy+y2+x-y-2； (4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2,