第二节 数项级数的敛散性,二、交错级数及其审敛法,第九章无穷级数,三、绝对收敛与条件收敛,一、正项级数及其审敛法,四、小结、练习,复习：1、几何级数（等比级数）的敛散性,2、算数级数（等差级数）的敛散性,发散,3、调和级数（p-级数）的敛散性,发散,一、正项级数及其审敛法,1.定义:,这种级数称为正项级数.,2.正项级数收敛的充要条件:,定理,部分和数列 为单调增加有界数列.,证明,即部分和数列有界,3.比较审敛法,不是有界数列,定理证毕.,比较审敛法的不便:,须有参考级数.,解,由图可知,重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数.,解,证明,4.比较审敛法的极限形式:,解,原级数发散.,故原级数收敛.,不必找参考级数.,比值审敛法的优点:,两点注意:,解,比值审敛法失效, 改用比较审敛法,级数收敛.,二、交错级数及其审敛法,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,证明,满足收敛的两个条件,定理证毕.,解,原级数收敛.,三、绝对收敛与条件收敛,定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,证明,上定理的作用：,任意项级数,正项级数,解,故由定理知原级数绝对收敛.,四、小结,思考题,思考题解答,由比较审敛法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收敛,发散.,练 习 题,判断正项级数的收敛性应注意以下几点:,1、判断正项级数的收敛性的必要条件,2、可以先考虑利用比值判别法判定其收敛性,3、使用比值判别法时，应先对级数的收敛性作个猜想。如果所猜级数收敛，只需适当放大通项，使其放大之后的表达式所形成的级数收敛。如果猜想所给级数发散，只需适当缩小通项，使其缩小之后的表达式所形成的级数发散。利用极限形式的比较判别法常可免掉放大或缩小通项的麻烦。,