推广,第九章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,第九章 多元函数微分法及其应用,1. 邻域,一、区域,第一节 多元函数的基本概念,2. 平面区域,例如，,即为闭区域,其中O为坐标原点，则称 E 为有界集.,不是有界集的集合称为无界集.,有界闭区域；,无界开区域,例如，,对于平面点集 E ，如果存在某一正数 r ,使得,3. 聚点,1) 内点一定是聚点；,说明：,2) 边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界,点也是聚点,3) 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点,又如,边界上,但不属于集合,的点都是聚点也都属于集合,4. n 维空间,1) n 维空间的记号为,说明：,2) n 维空间中两点间距离公式 :,设两点为,则,3） n 维空间中邻域、区域、内点、边界点、聚点等概念也可类似定义例如,邻域：,二、多元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,第一节 多元函数的基本概念,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,图形如右图.,例如,右图球面.,单值分支:,三、多元函数的极限,也记为,第一节 多元函数的基本概念,时的极限，,都有,成立，,使得对于适合不等式,的一切点P（x , y），,是其聚点，,总存在正数,定义2,，,或,或,记为,说明：,1）定义中 的方式是任意的；,2）二元函数的极限 也叫二重极限；,4）多元函数的极限运算法则与一元函数类似,3）以上关于二元函数的极限概念可以推广到 n 元函数 即 上去,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,例3 求极限,解,其中,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,四、多元函数的连续性,定义3,说明：如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上连续.,定义4,例5 讨论函数,在(0,0)处的连续性,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,1） 最大值和最小值定理,2）介值定理,1）一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的函数时，他们在各自的定义域内是连续的.,几点补充说明,2）由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数，且,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,这里的定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,3 ）如果 f (P) 是初等函数， 是 f (P) 定义域内的点，则有,例,解,内容小结,1. 区域,邻域 :,区域,连通的开集,2. 多元函数概念,n 元函数,常用,二元函数,(图形一般为空间曲面),三元函数,有,3. 多元函数的极限,4. 多元函数的连续性,1) 函数,2) 闭域上的多元连续函数的性质:,有界定理 ;,最值定理 ;,介值定理,3) 一切多元初等函数在定义区域内连续,解法1 令,思考与练习,1 .,设,求,解法2 令,即,2.,是否存在？,解 利用,所以极限不存在.,3. 证明,在全平面连续.,证,处，,连续.,故函数在全平面连续 .,由夹逼准则得,为初等函数 , 故,又,解 不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,4.,若点,沿着无数多条平面曲线趋向于点,时，函数,都趋向于A，能否断定,？,