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,2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示,平面向量的基本定理,复习:,从右往左看,用基底表示任意向量,达到统一向量的目的。,从左往右看,把向量a分解到e1,e2方向上。,把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如图,向量是两个互相垂直的单位向量,向量与的夹角是30,且,以向量为基底,向量如何表示?,平面向量的正交分解,如图, 是分别与x轴、y轴方向相同 的单位向量,若以 为基底,则,平面向量的坐标表示,其中,x叫做 在x轴上的坐标,y叫做 在y轴上的坐标,式叫做向量的坐标表示.,这样,平面内的任一向量 都可由x,y唯一确定,我们把(x,y)叫做向量 的(直角)坐标,记作,概念理解,O,x,y,A,1以原点O为起点作 ,点A的位置由谁确定?,由唯一确定.,2点A的坐标与向量的坐标的关系?,两者相同,点的坐标可以表示一个点在坐标平面的位置,向量的坐标能否也表示向量在坐标平面的位置呢?,理解:向量的坐标意义是向量正交分解时对应的有序实数对,表面是坐标形式,它只是一种记法,实际上是分解出来的基底的系数。 向量的坐标不表示向量的位置,同一向量可以任意平移,而它的坐标只有一个。,向量的坐标表示是一种向量与坐标的对应关系,它使得向量具有代数意义.将向量的起点平移到坐标原点,则平移后向量的终点坐标就是向量的坐标.,向量i ,j的坐标为什么? 零向量的坐标为什么?,2.3.2 平面向量的坐标表示,解:由图可知,同理,,2.3.3平面向量的坐标运算,平面向量的坐标运算,1.已知a , b ,求a+b,a-b,解:a+b=( i + j ) + ( i + j ),=( + )i+( + )j,两个向量和与差的坐标分别等于这两向量相应坐标的和与差,2.3.3平面向量的坐标运算,2已知 求,解:,一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐 标减去始点的坐标,实数与向量的积的坐标等于这个实数乘原来的向量的相 应坐标,2.3.3 平面向量的坐标运算,例2已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b, a-b,3a+4b的坐标,a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);,3a+4b=3(2,1)+4(-3,4) =(6,3)+(-12,16) =(-6,19),例3.设向量i=(1,0),j=(0,1),向量a=3i+4j, b=-i+j,求a+b,a-b的坐标。,2.3.3 平面向量的坐标运算,例4 已知 ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(2,1)、( 1,3)、(3,4),求顶点D的坐标,解:设顶点D的坐标为(x,y),1(2008辽宁)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且 ,则顶点D的坐标为( ),A. (2, ) B.(2, ) C. (3,2) D.( 1,3),A,解析:,1.若向量 =(1,-2)的终点在原点,那么这个向量的始点坐标是 ,(-1,2),3.已知点A(8,2),点B(3,5) ,将 沿x轴向左平移5个单位得到向量 ,则,向量可以平移,但坐标唯一,5.如图,在直角坐标系中, 已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7). 设 ,填空:,(1),(2)若用 来表示 ,则:,1,1,5,3,5,4,7,(3)向量 能否由 表示出来?可以的话,如何表示?,
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