形式：,解法：分离变量，初等积分。,12.2 (一)可分离变量的微分方程,例1(1) 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,通解,且已包含,例1(2) 求解微分方程的通解,解,由题设条件,例5,有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,单位时间水从孔口流出的流量为,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至 ,比较(1)和(2)得:,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,思考题,为所求通解.,求解微分方程,也是解.,(二)可化为分离变量的微分方程,例 1,例 1,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,(三)齐次方程化为可分离变量的微分方程,例 1 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 2 求解微分方程,解,例 3 抛物线的光学性质,实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,得微分方程,(.=切线与y正向夹角),分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,(四)可化为齐次的方程,1.定义,可分离变量,（其中h和k是待定的常数）,(3),不全为零，而且,有唯一一组解.,得通解,代回,求解,解,代入原方程得,例(2),通解为,解,(五)利用变量代换求微分方程的解-举例说明,解,代入原方程,原方程的通解为,解,分离变量法得,所求通解为,3. 求解方程,思考：求解方程,方程两边同时对 求导:,为齐次方程,练 习 题,练习题答案,