第六节高阶线性微分方程,线性微分方程解的结构 *降阶法与常数变易法 小结、作业,1/13,一、线性微分方程解的结构,TH1（线性微分方程解的叠加原理）,2/13,*证,3/13,TH3（齐次线性微分方程解的叠加原理）,齐次线性微分方程解的线性组合仍为其解,问：,n 阶齐次线性微分方程 n 个特解的线性组合一定为其通解？,5/13,由TH1：,例1,问：,n 阶齐次线性微分方程 n 个特解的线性组合一定为其通解？,6/13,7/13,性质：,例2,8/13,n 阶齐次线性微分方程的 n 个特解的线性组合 为通解,TH4（齐次线性微分方程通解的结构）,这 n 个特解线性无关,例3,证,9/13,例4,*二、降阶法与常数变易法,1.求（二阶）齐次线性方程的线性无关特解降阶法,代入(1)式, 得,则降阶为,解得,方程（1）的通解为,10/13,2. （二阶）非齐次线性方程通解求法常数变易法,(3),设（2）的通解为,令,(4),(5),11 /13,(4),(5)联立方程组,积分可得,非齐次微分方程通解为,12 /13,三、小结,1. 线性微分方程通解的结构：,1) 齐次线性方程通解的结构；,2)非齐次线性方程通解的结构,2. 两个函数线性无关的充分必要条件,13/13,作业,第七章练习二 一、,