第五节 隐函数的微分法,（一）一个方程的情形,所确定的 y 是 x 的隐函数 y = f (x) , 如何求,例如：,两边对 x 求导,（1）由方程,问题：没有统一的公式，下面给出用偏导数来 求的公式。,将 y = f (x) 代入方程得：,隐函数的求导公式,问题：如何给出 的计算公式？,解,令,则,解,令,则,例2：设,解：,求,例2：设,解：,求,（2）由方程,所确定的二元函数 z = f ( x , y ) , 求,隐函数存在定理 2：设函数 F ( x , y , z ) 在点,的某一邻域内有连续偏导数，,则方程 F ( x , y , z ) = 0 在点,的某一,邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的 函数 z = f ( x , y ) , 它满足条件,并有,解,令,则,思路：,解：,令,则,（1）解出 d z 得,两边微分得,所以,解：,令,则,（2）解出 d x 得,两边微分得,所以,解：,令,则,（3）解出 d y 得,两边微分得,所以,例5 已知,确定 z = z ( x , y ) ，,解：令,二、方程组的情形,由方程组,在一定条件下确定两个二元隐函数,问题：如何求偏导数,将方程两边对 x 求偏导,解得：,同理可求得：,则方程组,它们满足,并有,说明：定理的叙述及计算公式都比较麻烦，实际 计算中一般不套公式，而用推倒公式的方法。,解：,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导并移项,解：,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导，用同样方法得,例7：设,解：将方程两边去微分得,求,整理得,解得,例7：设,解：将方程两边去微分得,求,（分以下几种情况）,隐函数的求导法则,三、小结,（1）设,（2）已知,确定 z = z ( x , y ) ，,课堂练习,（1）设,解：令,（2）已知,确定 z = z ( x , y ) ，,解：令,课外补充练习,一、求下列各极限,二、证明极限,课外补充练习题解答,解：,在 ( 1 , 0 ) 处连续，所以,解：,解：,二、证明极限,证明：,考虑点 ( x , y ) 以下面两种方式趋于原点,（1）沿 x 轴趋于原点 ( 0 , 0 ) , 此时有 y = 0 ,（2）沿 y 轴趋于原点 ( 0 , 0 ) , 此时有 x = 0 ,所以原极限不存在。,全微分内容小结：如果函数的增量,可表成,其中,则记,所以,并且,或,