一 寸 光 阴 不 可 轻 0 1.1.1 函数的平均变化率函数的平均变化率导学案导学案 【学习要求】【学习要求】 1理解并掌握平均变化率的概念 2会求函数在指定区间上的平均变化率 3能利用平均变化率解决或说明生活中的一些实际问题 【学法指导】【学法指导】 从山坡的平缓与陡峭程度理解函数的平均变化率， 也可以从图象上数形结合看平均变化率的几何意义. 【知识要点】知识要点】 1函数的平均变化率：已知函数 yf(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记 x ，yy1y0 f(x1)f(x0) ，则当 x0 时，商 x xfxxf +)()( 00 _叫做函数 yf(x)在 x0到 x0 x 之间 的 2函数 yf(x)的平均变化率的几何意义：y x_ 表示函数 yf(x)图象上过两点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的割线的 . 【问题探究】【问题探究】 在爬山过程中，我们都有这样的感觉：当山坡平缓时，步履轻盈；当山坡陡峭时，气喘吁吁怎样用 数学反映山坡的平缓与陡峭程度呢？下面我们用函数变化的观点来研究 这个问题 探究点一探究点一 函数的平均变化率 问题问题 1 如何用数学反映曲线的“陡峭”程度？ 问题问题 2 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？ 例例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示，试分别计算从出 生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月该婴儿体重的平均变化率 问题问题 3 平均变化率有什么几何意义？ 跟踪训练跟踪训练 1 如图是函数 yf(x)的图象，则： （1）函数 f(x)在区间1,1上的平均变化率为_； （2）函数 f(x)在区间0,2上的平均变化率为_ 探究点二探究点二 求函数的平均变化率求函数的平均变化率 例例 2 已知函数 f(x)x2，分别计算 f(x)在下列区间上的平均变化率： （1）1,3； （2）1,2； （3）1,1.1； （4）1,1.001 跟踪训练跟踪训练 2 分别求函数 f(x)13x 在自变量 x 从 0 变到 1 和从 m 变到 n(mn) 时的平均变化率 问题问题 一次函数 ykxb(k0)在区间m，n上的平均变化率有什么特点？ 一 寸 光 阴 不 可 轻 1 探究点三探究点三 平均变化率的应用平均变化率的应用 例例 3 甲、乙两人走过的路程 s1(t)，s2(t)与时间 t 的关系如图，试比较两人的平均速度哪个大？ 跟踪训练跟踪训练 3 甲用 5 年时间挣到 10 万元，乙用 5 个月时间挣到 2 万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营 成果？ 【当堂检测】【当堂检测】 1函数 f(x)53x2在区间1,2上的平均变化率为_ 2一物体的运动方程是 s32t，则在2,2.1这段时间内的平均速度为_ 3甲、乙两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示，治污效果较好的是_ 【课堂小结】【课堂小结】 1函数的平均变化率可以表示函数值在某个范围内变化的快慢；平均变化率的几何意义是曲线割线的斜 率，在实际问题中表示事物变化的快慢 2求函数 f(x)的平均变化率的步骤： （1）求函数值的增量 yf(x2)f(x1)； （2）计算平均变化率y x 12 12 )()( xx xfxf . 【拓展提高】【拓展提高】 1设函数( )yf x=，当自变量x由 0 x改变到 0 xx+时，函数的改变量y为（ ） A 0 ()f xx+ B 0 ()f xx+ C 0 ()f xx D 00 ()()f xxf x+ 2质点运动动规律 2 3st=+，则在时间(3,3) t+ 中，相应的平均速度为（ ） A6t+ B 9 6t t + + C3t+ D9t+ 【教学反思】【教学反思】 一 寸 光 阴 不 可 轻 2 1.1.2 瞬时速度与导数瞬时速度与导数导学案导学案 【学习要求】【学习要求】 1掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义 2会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率 3理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法 4理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数 【学法指导】【学法指导】 导数是研究函数的有力工具，要认真理解平均变化率和瞬时变化率的关系，体会无限逼近的思想；可 以从物理意义，几何意义多角度理解导数. 【知识要点】【知识要点】 1瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为 设物体运动路程与时间的关系是 ss(t)， 物体在 t0时刻的瞬时速度 v 就是运动物体在 t0到 t0t 这段时间 内的平均变化率 t tstts +)()( 00 ，当 t0 时的极限，即 vlim t0 s t_ 2瞬时变化率：一般地，函数 yf(x)在 x0处的瞬时变化率是lim x0 y x_. 3导数的概念：一般地，函数 yf(x)在 x0处的瞬时变化率是_，我们称它为函数 yf(x) 在 xx0处的 ，记为 ，即 f(x0)lim x0 y x_ 4导函数：如果 f(x)在开区间(a，b)内每一点 x 都是可导的，则称 f(x)在区间(a，b) 这样，对开区 间(a，b)内每个值 x，都对应一个确定的导数)(x f ，于是在区间(a，b)内，)(x f 构成一个新的函数，把 这个函数称为函数 yf(x)的 记为 或 y(或 yx )导函数通常简称为 【问题探究】【问题探究】 探究点一探究点一 瞬时速度瞬时速度 问题问题 1 在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的时间 t(单位：s)存在函数关 系 h(t)4.9t26.5t10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度 v 粗略地描述其运动状态？ 问题问题 2 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？ 问题问题 3 如何描述物体在某一时刻的运动状态？ 例例 1 火箭竖直向上发射熄火时向上速度达到 100 sm/.试问熄火后多长时间火箭向上速度为 0? 问题问题 4 火箭向上速度变为 0，意味着什么？你能求出此火箭熄火后上升的最大高度吗？ 跟踪训练跟踪训练 1 质点 M 按规律 s(t)at21 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)若质点 M 在 t2 时 的瞬时速度为 8sm/，求常数 a 的值 一 寸 光 阴 不 可 轻 3 探究点二探究点二 导导 数数 问题问题 1 从平均速度当 t0 时极限是瞬时速度，推广到一般的函数方面，我们可以得到什么结论？ 问题问题 2 导数和瞬时变化率是什么关系？导数有什么作用？ 问题问题 3 导函数和函数在一点处的导数有什么关系？ 例例 2 利用导数的定义求函数 f(x)x23x 在 x2 处的导数 跟踪训练跟踪训练 2 已知 yf(x) x2，求 f(2) 探究点三探究点三 导数的实际应用导数的实际应用 例例 3 一正方形铁板在 0时， 边长为 10cm， 加热后铁板会膨胀 当温度为Ct 0 时， 边长变为 10(1at)cm， a 为常数，试求铁板面积对温度的膨胀率 跟踪训练跟踪训练 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热如果在第 xh 时，原油的温度(单位：C 0 )为 yf(x)x27x15(0 x8)计算第 2 h和第 6 h时，原油温度的瞬时 变化率，并说明它们的意义 【当堂检测】【当堂检测】 1函数 yf(x)在 xx0处的导数定义中，自变量 x 在 x0处的增量 x ( ) A大于 0 B小于 0 C等于 0 D不等于 0 2一物体的运动方程是 s1 2at 2(a 为常数)，则该物体在 tt0时的瞬时速度是 ( ) Aat0 Bat0 C1 2at0 D2at0 3已知 f(x)x210，则 f(x)在 x3 2处的瞬时变化率是 ( ) A3 B3 C2 D2 4已知函数 f(x) 1 x，则 ) 1 ( f _ 【课堂小结】【课堂小结】 1瞬时速度是平均速度当 t0 时的极限值；瞬时变化率是平均变化率当 x0 时的极限值 2利用导数定义求导数的步骤： （1）求函数的增量 yf(x0 x)f(x0)； （2）求平均变化率y x； （2）取极限得导数 f(x0)lim x0 y x. 【拓展提高】【拓展提高】 1 ( ) ()( )为 则设 h fhf f h 2 33 lim,43 0 = （ ） A B2 C3 D1 2一质点做直线运动,由始点起经过ts后的距离为 234 164 4 1 ttts+=,则速度为零的时刻是 （ ） A4s末 B8s末 C0s与 8s末 D0s,4s,8s末 【教学反思】【教学反思】 一 寸 光 阴 不 可 轻 4 1.1.3 导数的几何意义导数的几何意义导学案导学案 【学习要求】【学习要求】 1了解导函数的概念，理解导数的几何意义 2会求导函数 3根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 【学法指导】【学法指导】 前面通过导数的定义已体会到其中蕴涵的逼近思想， 本节再利用数形结合思想进一步直观感受这种思 想，并进一步体会另一种重要思想以直代曲. 【知识要点】【知识要点】 1导数的几何意义导数的几何意义 （1）割线斜率与切线斜率割线斜率与切线斜率 设函数 yf(x)的图象如图所示， AB 是过点 A(x0， f(x0)与点 B(x0 x， f(x0 x) 的一条割线，此割线的斜率是y x_. 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的最终位置为直线 AD，这条直线 AD 叫做此 曲线在点 A 处的 于是，当 x0 时，割线 AB 的斜率无限趋向于在点 A 的切线 AD 的斜率 k，即 k _. （2）导数的几何意义导数的几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数的几何意义是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的 也就是说， 曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 相应地，切线方程为_ 2函数的导数函数的导数 当 xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当 x 变化时，)(x f 是 x 的一个函数，称)(x f 是 f(x)的导函数(简 称导数)(x f 也记作 y，即)(x f y_ 【问题探究】【问题探究】 探究点一探究点一 导数的几何意义导数的几何意义 问题问题 1 如图，当点 Pn(xn，f(xn)(n1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0，f(x0)时，割线 PPn的变化趋势是 什么？ 问题问题 2 曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？ 例例 1 如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 h(t)4.9t26.5t10 的 一 寸 光 阴 不 可 轻 5 图象根据图象，请描述、比较曲线 h(t)在 t0，t1，t2附近的变化情况 跟踪训练跟踪训练 1 （1）根据例 1 的图象，描述函数 h(t)在 t3和 t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况 （2）若函数 yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数 yf(x