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2.4.1求函数零点近似解的一种计算方法 二分法 课件,1、函数的零点的定义:,使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点,复习:,2、零点存在性判定法则,复习:,由图可知:方程x2-2x-1=0 的一个根x1在区间(2,3)内,另一个根x2在区间(-1,0)内,画出y=x2-2x-1的图象(如图),结论:借助函数 f(x)= x2-2x-1的图象,我们发现 f(2)=-10,这表明此函数图象在区间(2, 3)上穿过x轴一次,可得出方程在区间(2,3)上有惟一解.,问题2不解方程,如何求方程x2-2x-1=0的一个正的近似解(精确到0.1)?,思考:如何进一步有效缩小根所在的区间?,由于2.375与2.4375的近似值都为 2.4,停止操作,所求近似解为2.4。 数离形时少直观,形离数时难入微!,由于2.375与2.4375的近似值都为2.4,停止操作,所求近似解为2.4。,1简述上述求方程近似解的过程,f(2.5)=0.250, f(2.25)= -0.43750, f(2.375)= -0.23510, f(2.4375)= 0.1050,通过自己的语言表达,有助于对概念、方法的理解!, 2.375与2.4375的近似值都是2.4, x12.4,解:设f (x)=x2-2x-1,x1为其正的零点,对于在区间a,b上连续不断,且f(a) f(b)0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两端点逐步逼近零点,进而得到零点(或对应方程的根)近似解的方法叫做二分法,问题4:二分法实质是什么?,用二分法求方程的近似解,实质上就是通过“取中点”的方法,运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间。,问题3如何描述二分法?,例题:利用计算器,求方程2x=4-x的近似解 (精确到0.1),怎样找到它的解所在的区间呢?,在同一坐标系内画函数 y=2x 与y=4-x的图象(如图),能否不画图确定根所在的区间?,方程有一个解x0(0, 4),如果画得很准确,可得x0(1, 2),数学运用(应用数学),解:设函数 f (x)=2x+x-4,则f (x)在R上是增函数f (0)= -30, f (x)在(0,2)内有惟一零点, 方程2x+x-4 =0在(0, 2)内有惟一解x0.,由f (1)= -10 得:x0(1,2),由f (1.5)= 0.330, f (1)=-10 得:x0(1,1.5),由f (1.25)= -0.370 得:x0(1.25,1.5),由f (1.375)= -0.0310 得:x0(1.375,1.5),由 f (1.4375)= 0.1460, f (1.375)0 得: x0(1.375,1.4375), 1.375与1.4375的近似值都是1.4, x01.4,问题5:能否给出二分法求解方程f(x)=0(或 g(x)=h(x)近似解的基本步骤?,1利用yf(x)的图象,或函数赋值法(即验证f (a)f(b)0 ),判断近似解所在的区间(a, b).,;,2“二分”解所在的区间,即取区间(a, b)的中点,3计算f (x1): (1)若f (x1)0,则x0 x1; (2)若f (a)f(x1)0,则令bx1 (此时x0(a, x1); (3)若f (a)f(x1)0,则令ax1 (此时x0(x1,b).,;,4判断是否达到给定的精确度,若达到,则得出近似解;若未达到,则重复步骤24,练习1: 求方程x3+3x-1=0的一个近似解(精确到 0.01),画y=x3+3x-1的图象比较困难,,变形为x3=1-3x,画两个函数的图象如何?,有惟一解x0(0,1),练习2: 下列函数的图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是 ( ),C,问题5:根据练习2,请思考利用二分法求函数 零点的条件是什么?,1. 函数y=f (x)在a,b上连续不断 2. y=f (x)满足 f (a) f (b)0,则在(a,b)内必有零点.,思考题 从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点,现在某接点发生故障,需及时修理,为了尽快断定故障发生点,一般至少需要检查几个接点?,回顾反思(理解数学),课堂小结,1.理解二分法是一种求方程近似解的常用方法 2.能借助计算机(器)用二分法求方程的近似解,体会程序化的思想即算法思想 3.进一步认识数学来源于生活,又应用于生活 4.感悟重要的数学思想:等价转化、函数与方程、数形结合、分类讨论以及无限逼近的思想.,
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