函数极限习题课,一、基本内容 二、例题选讲,一、主要内容,函 数 的定义,反函数,隐函数,反函数与直接 函数之间关系,基本初等函数,复合函数,初等函数,函 数 的性质 单值与多值 奇偶性 单调性 有界性 周期性,双曲函数与 反双曲函数,左右极限,两个重要 极限,求极限的常用方法,无穷小 的性质,极限存在的 充要条件,判定极限 存在的准则,无穷小的比较,极限的性质,数列极限,函 数 极 限,等价无穷小 及其性质,唯一性,两者的 关系,无穷大,2、初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,3、分段函数,4、极限的定义,左极限,右极限,无穷小:,极限为零的变量称为无穷小.,5、无穷小的性质,定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,定理3,定理4(等价无穷小替换定理),定理1,6、极限的运算,定理2,(夹逼准则),7、判定极限存在的准则,(1),(2),8、两个重要极限,9、求极限的常用方法,a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限; f.极限的运算; g.两个重要极限及两个收敛准则; h.用定义验证.,例1,解,二、例题选讲,例2,解,利用函数表示法的无关特性,代入原方程得,代入上式得,解联立方程组,例3,解,例4,解,将分子、分母同乘以因子(1-x), 则,例5,解,例6,求下列极限,=1.,=3.,例7,求下列极限,例8,求下列极限,=1;,=0;,=2.,不存在.,0x1,=-1;,x=1,=0;,1x,=1.,=1.,=1.,例9,解,由于,又,故,例10,证明,也有,即 a=b.,例11,用定义验证下列极限,证,考察,证,考察,证,考察,