第二节 函数极限(Limits of Functions),目的与要求 理解函数极限的定义，能在学习过程中逐步加深对 极限思想的理解 理解函数左极限与右极限(right- and left-hand limits)的概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系 理解无穷小、无穷大概念。掌握无穷小的比较方法 熟练掌握极限的运算，会用两个重要极限求极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,我国古代数学家刘徽在九章算术注利用圆内接正多边形计算圆面积的方法 割圆术，就是极限思想在几何上的应用。,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,战国时期的一部哲学著作，叫庄子 天下篇，其中有这样一句话：,二、函数极限(Limits of Functions),1.自变量趋向无穷大时函数的极限,(1),(2),(2),(2),(2),(2),(2),(2),(2),(2),(2),通过上面演示实验的观察可知:,2、自变量趋向有限值时函数的极限,考虑函数,解：,例：,二、无穷小量与无穷大量,1、定义:,极限为零的变量称为无穷小量.简称无穷小,注意,（1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.,2、无穷小与函数极限的关系:,意义,（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);,3、无穷小的运算性质:,性质1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,4、无穷大,绝对值无限增大的变量称为无穷大量，简称无穷大.,不是无穷大,无界，,5、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义:,例如，,