一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法,换元积分法,一、第一类换元法,例1,？,分析,解,解,定理,公式(1)称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.,例2 求,解,例3 求,解,用第一换元积分法求不定积分的步骤是：,例4 求,解,例5 求,解,例6 求,解,用凑微分法计算不定积分时，熟记凑微分公式是十分必要的，以下是凑微分公式(在 下列各式中，a，b均为常数，且 ) :,例7 求,类似地，有,解,例8 求,解,还需说明的是，计算某些积分时，由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个常数项，属于同一个原函数族.,练习1：求下列积分,二、第二类换元积分法,例9 求,解,一般的说，若积分 不易计算可以作适当的 变量代换 ，把原积分化为 的形 式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要 将 代回.还原成x的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想.,定理,例10 求,解,第二类换元积分法求不定积分时，可按以下步骤进行,例11 求,解,补充的积分公式：,练习2： 求下列积分,由函数乘积的微分公式,移项得,对上式两端同时积分，得,5.3 分部积分法,例1 求,解,注意：,使用分部积分公式的目的是在于化难为易，解题的 关键在于恰当的选择v和u.,例2 求,解,例3 求,解,例4 求,解,例5 求,解,练习3：,求下列积分,参考答案： 练习1：,练习2：,练习3：,