微分方程,第七章, 积分问题, 微分方程问题,推广,主要内容：,第一节 微分方程的基本概念,第二节 可分离变量的微分方程,第三节 齐次方程,第四节 一阶线性方程,第五节 可降阶的高阶微分方程,第六节 高阶线性微分方程及其解的结构,第七节 二阶常系数齐次线性微分方程,第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程,一阶,高阶,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第七章,引例2. 列车在平直路上以,的速度行驶,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知,由前一式两次积分, 可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住 ,以及制动后行驶了多少路程 .,即求 s = s (t) .,制动时,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),( n 阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地 , n 阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或, 使方程成为恒等式的函数.,通解, 解中所含独立的任意常数的个数与方程, 确定通解中任意常数的条件.,n 阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,引例2,引例1,通解:,特解:,微分方程的解, 不含任意常数的解,初始条件,其图形称为积分曲线.,初值问题,下列函数只有( )可能是方程 的通解。,例1. 验证函数,是微分方程,的通解,的特解 .,解:,这说明,是方程的解 .,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,求所满足的微分方程 .,例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,