中华工程资格考试网,1.4 无穷级数,1.4.1 数项级数,1.4.2 幂级数,讨论敛散性,求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。,1.4.3 傅立叶级数,求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。,中华工程资格考试网,1.4.1数项级数,给定一个数列,将各项依,即,称上式为无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,级数的前 n 项和,称为级数的部分和.,次相加, 简记为,收敛 ,则称无穷级数,并称 S 为级数的和。,1.数项级数定义,中华工程资格考试网,2.基本性质,性质1. 若级数,收敛于 S ,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛 ,即,其和为 c S .,性质2. 设有两个收敛级数,则级数,也收敛, 其和为,中华工程资格考试网,性质3.,在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数,的敛散性.,性质4.,收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级,的和.,推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.,注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,性质5：设收敛级数,则必有,可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .,中华工程资格考试网,等比级数,(又称几何级数),( q 称为公比 ).,级数收敛 ,级数发散 .,其和为,3. 几个重要级数的收敛性,调和级数发散,(常数 p 0),p -级数,中华工程资格考试网,*例1.判断级数的敛散性:,解:该级数是下列两级数之差,故原级数收敛.,中华工程资格考试网,(比较审敛法),设,且存在,对一切,有,(1) 若强级数,则弱级数,(2) 若弱级数,则强级数,则有,收敛 ,也收敛 ;,发散 ,也发散 .,是两个正项级数,(常数 k 0 ),4.审敛法,正项级数：,中华工程资格考试网,中华工程资格考试网,(比较审敛法的极限形式),则有,两个级数同时收敛或发散 ;,(2) 当 l = 0,(3) 当 l =,设两正项级数,满足,(1) 当 0 l 时,中华工程资格考试网,的敛散性.,例3. 判别级数,解:,根据比较审敛法的极限形式知,中华工程资格考试网,比值审敛法 ( Dalembert 判别法),设,为正项级数, 且,则,(1) 当,(2) 当,时, 级数收敛 ;,或,时, 级数发散 .,. 根值审敛法 ( Cauchy判别法),设,为正项,级数, 且,则,中华工程资格考试网,因此级数,收敛.,解:,中华工程资格考试网,交错级数,则各项符号正负相间的级数,称为交错级数 .,( Leibnitz 判别法 ),若交错级数满足条件:,则级数,收敛 。,中华工程资格考试网,绝对收敛与条件收敛,定义: 对任意项级数,若,若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级,收敛 ,数,绝对收敛 ；,则称原级,数,条件收敛 .,绝对收敛的级数一定收敛 .,中华工程资格考试网,例5. 证明下列级数绝对收敛 :,证:,而,收敛 ,收敛,因此,绝对收敛 .,中华工程资格考试网,判断数项级数敛散的方法,1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质,2、利用必要条件：主要判别发散,3、求部分和数列的极限,4、正项级数的审敛法,1）比值审敛法（根值审敛法）,2）比较审敛法（或极限形式）,5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理,6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛,中华工程资格考试网,收敛,发散,1.Abel定理,若幂级数,则对满足不等式,的一切 x 幂级数都绝对收敛.,反之, 若当,的一切 x , 该幂级数也发散 .,时该幂级数发散 ,则对满足不等式,1.4.2 幂级数,中华工程资格考试网,*例6.已知幂级数,在,处收敛，则该级数,在,处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛,还是绝对收敛？,解：,由Abel定理 ，该幂级数在,处绝对收敛，,故在,绝对收敛。,中华工程资格考试网,例7. 已知,处条件收敛 , 问该级数收敛,半径是多少 ?,答:,根据Abel 定理可知, 级数在,收敛 ,时发散 .,故收敛半径为,中华工程资格考试网,若,的系数满足,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则,的收敛半径为,2.求收敛半径,中华工程资格考试网,对端点 x =1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例8.求幂级数,中华工程资格考试网,3.求函数的幂级数展开式,1、对函数作恒等变形（如果需要的话）,2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数,3、写出收敛范围(P34例1-37),中华工程资格考试网,1.求傅立叶级数展开式,2.求某个傅立叶系数,3.求和函数在某些点的值,1.4.3 傅立叶级数的有关问题,中华工程资格考试网,例9.,设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在,上的表达式为,(3)将 f (x) 展成傅里叶级数.,解:,中华工程资格考试网,(3) 先求傅里叶系数,中华工程资格考试网,中华工程资格考试网,1.5 微分方程,1.5.1 微分方程的基本概念,1.5.2 解微分方程,1.5.3 微分方程应用,中华工程资格考试网,1.5.1 微分方程的基本概念,一阶微分方程,二阶微分方程,1. 判定微分方程的阶,2. 判定函数是否微分方程的解，通解或特解,中华工程资格考试网,例1. 验证函数,是微分方程,的解.,解:,是方程的解 .,中华工程资格考试网,1.5.2 解微分方程,1. 一阶微分方程,可分离变量，一阶线性,2. 高阶微分方程,二阶线性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。,中华工程资格考试网,*例2. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),因此可能增、,减解.,中华工程资格考试网,解,*例3.,利用一阶线性方程的通解公式得：,中华工程资格考试网,例4. 曲线族,所满足的一阶微分方程是_.,解: 对,两边求导，得,即为所求一阶微分方程,中华工程资格考试网,特征方程:,实根,二阶线性常系数齐次微分方程求解,中华工程资格考试网,例5.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例6. 求解初值问题,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,中华工程资格考试网,*例7.,的通解.,解: 特征方程,特征根:,因此原方程通解为,中华工程资格考试网,例8.,解：因,是一个特解，所以,是特征,方程的重根，故特征方程为：,所对应微分方程为,中华工程资格考试网,(2) 若 是特征方程的单根,特解形式为,(3) 若 是特征方程的重根,特解形式为,(1) 若 不是特征方程的根,特解形式为,中华工程资格考试网,的特解形式.,解: 本题,而特征方程为,不是特征方程的根 .,特解形式为,例9.,例10.,的特解形式.,解: 本题,而特征方程为,其根为,特解形式为,中华工程资格考试网,1.5.3 微分方程应用,1. 利用导数几何意义列方程,2. 利用导数物理意义列方程,3. 利用牛顿第二定律,中华工程资格考试网,求所满足的微分方程 .,*例11. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,中华工程资格考试网,例12.,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,