第二章 极限与连续,第一节 极限的概念,一、数列极限 1. 数列的概念 定义1 将自变量为正整数的函数un=f(n)的函数值按自变量n由小到大的顺序排成的一列数 u1，u2，u3，un， 称为数列. 记为un，其中un=f(n)为数列un的通项或一般项. 由于一个数列un完全由其一般项un所确定，有时也将数列un简写成un.,定义2 对于数列un，若存在一个常数M 0，使得|un|M ( n =1，2，)恒成立，则称数列un为有界数列，或称数列有界. 如果数列un有界，也可理解成存在两个数M和m，使得munM，也称M为数列的上界，m为数列的下界. 定义3 对于数列un，若数列的各项满足unun+1，则称数列un为单调增加的数列；若数列的各项满足unun+1，则称数列un为单调减少的数列. 单调增加的数列或单调减少的数列统称为单调数列.,2. 数列的极限,定义4 对于数列un，当项数n无限增大时，如果数列un的值无限接近于一个确定的常数A，则称A为数列的极限，或称数列un的极限存在，记为,注意：并非所有的数列都有极限，如果当n时，un无限接近的常数A不存在，则数列un的极限不存在. 若极限不存在,又称数列发散.,3. 收敛数列的性质 1、如果数列收敛，那么它的极限是唯一 2、如果数列收敛，那么数列一定有界 3、如果且a0(a0，当nN时， 4、如果数列收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。,二、函数的极限,前面讨论了数列的极限，数列作为一种较为简单的特殊函数（整标函数），可以方便地观察其变化趋势. 现在就一般函数y=f(x)的变化趋势进行讨论.,上面定义中x含有两种情况： （1）x取正值无限增大，记为x+. （2）x取负值而绝对值无限增大，记为x-. 对于某些函数f(x)，自变量x的变化趋势只能或只需取这两种情形中的一种，对于这两种情形有：,2. 当时，函数的极限 当自变量x无限趋近于某个确定的数值x0时，函数f(x)的变化趋势也是我们经常遇到的问题. 我们用xx0表示x无限趋近于确定的数值x0，其几何意义则是数轴上的动点x到定点x0的距离越来越小，逐渐趋近于0. 在这种情况下，由于只考虑函数f(x)的变化趋势，因此无论f(x)在x0处有无定义，都不影响我们的讨论. 先考虑下面的例子.,定义8 设函数f(x)在x0的去心邻域内有定义，当x从x0的左右两侧无限趋近于x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋近于x0时函数f(x)的极限，记作,定义9 设函数f(x)在x0的去心邻域左侧（x0-d，x0）内有定义，当x从x0的左侧无限趋近于x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋近于x0时函数f(x)的左极限，记作,定义10 设函数f(x)在x0的去心邻域右侧（x0，x0+d）内有定义，当x从x0的右侧无限趋近于x0时，相应的函数值f(x)无限趋近于一个确定的常数A，则称A为当x趋近于x0时函数f(x)的右极限，记作,三、函数极限的性质,以上讨论了函数极限的各种情形，并将数列的极限作为函数极限的一种特例来处理. 它们描述的问题都是：在自变量的某个变化趋势下，函数值无限趋近于确定的常数，在有些方面它们具有一定的共性. 下面给出函数极限的上述性质.,第二节 极限的运算法则,一、极限的四则运算法则,在自变量x的同一变化趋势下，设函数f(x)和g(x)的极限都存在，分别用和表示. 注意：此处省略了自变量x的变化趋势，表示在下面的讨论中，对于xx0，xx0-，xx0+，x，x - ，x + 中的任何一种情形，结论都成立（下同）.,二、复合函数的极限运算法则,第三节 两个重要极限,第四节 无穷小量与无穷大量,一、无穷小量 1. 无穷小量的定义 定义1 若函数f(x)在x的某种变化过程中极限趋近于0，则称f(x)为在x的这种变化趋势下的无穷小量，简称无穷小.,2. 无穷小的性质 性质1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量. 注意：无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小量. 性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量. 推论 常数与无穷小量的乘积是无穷小量. 性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量. 注意：两个无穷小的商未必是无穷小量.,二、无穷大量 定义2 在自变量的某种变化趋势下，若函数f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)为在x的这种变化趋势下的无穷大量，简称无穷大.,三、无穷小量与无穷大量的关系 根据无穷小量和无穷大量的定义，它们的关系可用下面的定理来描述： 定理2 在自变量的同一变化趋势下，无穷大量的倒数是无穷小量；恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量. 使用无穷小量与无穷大量的关系定理可以方便地讨论极限结果是无穷大量的情况.,四、无穷小量的阶比较 定义3 设(x)与(x)均为自变量在同一变化趋势下的无穷小.,第五节 函数的连续性,一、函数连续的概念 1. 变量的改变量 定义1 如果自变量x从初值x0变到终值x1，那么终值x1与初值x0的差x1 - x0叫做自变量的改变量（有的称为自变量的增量），记为Dx= x1 - x0.,定义2 设函数y = f (x)在x0的邻域内有定义，当自变量x由x0变成x0+Dx时，相应的函数值由f (x0) 变成f (x0+ Dx)，则称f (x0+Dx) -f (x0)为在x0点的函数的改变量（有的称为函数的增量），记为Dy= f (x0+Dx) -f (x0)，如图2.3所示.,3. 函数在区间的连续性 定义7 如果函数f(x)在开区间(a，b)内的每一点都连续，则称函数f(x)在(a，b)内连续. 定义8 如果函数f(x)在开区间(a，b)内连续，且在左端点x = a处右连续，即，同时在右端点x = b处左连续，即，则称函数f(x)在闭区间 a，b 上连续.,二、函数的间断 定义9 如果函数y=f(x)在x0点不连续，则称x0为函数f(x)的一个间断点，也称函数f(x)在该点间断. 由函数在x0点连续的定义可知，如果函数y=f(x)在x 0点满足下列3个条件之一，则x0点是f(x)的一个间断点. （1）函数在x0点没有定义. （2）函数在x0点的极限不存在. （3）虽然存在，但不等于x0点的函数值，即f(x0).,三、初等函数的连续性,3. 反函数的连续性 定理3 若函数y=f(x)在某区间上单调且连续，则其反函数在对应的区间上也单调且连续，且它们的单调性相同.,4. 初等函数的连续性 由于连续函数经过四则运算及复合运算后仍然是连续函数，再根据初等函数的定义可得如下结论. 定理4 初等函数在其定义内都是连续的. 定理4说明，今后在求初等函数在定义域内指定点的极限时，只需计算该点的函数值即可.,四、闭区间上连续函数的性质,定理5（最大值和最小值存在定理）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值. 说明：定理中的闭区间和连续这两个条件缺一不可. 若函数在开区间内连续，则它在该区间内未必能取得最大值和最小值，如函数y=x2在区间(0，1)内就没最大值和最小值. 若函数在闭区间不连续上，也未必能取得最大值和最小值. 图2.4 推论 若函数y=f(x)在闭区间上连续，则它在该区间上有界.,定理6（零点定理） 若函数f (x)在a，b上连续，且f(a)与f(b)异号，即 f(a)f(b)0，则至少存在一点(a，b)，使得f()=0，如图2.4所示. 函数f (x)的零点即为方程f (x)=0的根，因此零点定理又称为根的存在定理，用它来证明方程根的存在性是非常有效的，结合函数的单调性也可以明确方程根的分布情况.,定理7 (界值定理)若函数f(x)在闭区间a，b上连续, f(a) f(b),则对于任意f(a)与 f(b)之间的一个常数c，必有至少存在一点，使得f()=c. 推论 若函数f(x)在闭区间a，b上连续,则它必能取到它所在区间上的最小值与最大值之间的一切值.,例16 证明方程x5-3x=1在(1，2)内至少存在一个实根. 证明 将方程x5-3x=1化成x5-3x-1=0，构造函数f(x)= x5-3x-1，由于f(x)在1，2上连续，且f(1)= -30，因此连续函数f(x)在区间端点处的函数值异号. 由零点定理可知，f(x)在(1，2)内至少存在一点，使得f()=0，即是方程f(x)=0的一个根，故方程x5-3x=1在(1，2)内至少存在一个实根.,第六节 数项级数的基本概念,一、数项级数的定义及敛散性,二、级数的基本性质和级数收敛的必要条件,三、正项级数及其敛散性判别法,四、任意项级数及其判别法,