1,实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？,问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即负梯度方向）爬行,一、问题的提出,第六节 方向导数与梯度,2,讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题,二、方向导数的定义,（如图）,3,当 沿着 趋于 时，,是否存在？,4,记为,5,(2)方向导数与偏导数的关系,6,7,8,证明,由于函数可微，则增量可表示为,两边同除以,得到,9,故有方向导数,10,例1 已知平面x o y上各点的温度T = x2 + y2， 求在点（1，1）处沿与x轴正向成30o，45o 转角方向的温度变化率。,（1,1）,0,x,y,l1,l2,解,因 T = x2+y2 可微分，所以有,11,解,12,推广可得三元函数方向导数的定义,13,14,解,令,故,方向余弦为,15,故,16,三、梯度的概念,17,18,结论：,19,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截得,所得曲线在 x o y 面上投影如图,等高线,梯度为等高线上的法向量,20,等高线的画法,播放,21,例如,22,梯度与等高线的关系：,23,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.,梯度的概念可以推广到三元函数,24,25,解,由梯度计算公式得,故,26,27,等高线的画法,28,等高线的画法,29,等高线的画法,30,等高线的画法,31,等高线的画法,32,等高线的画法,33,等高线的画法,34,等高线的画法,35,等高线的画法,