第二节 二重积分的计算,一、利用直角坐标计算二重积分,1、,型区域,特点：,如何求积分,按平行截面面积已知的 立体体积的计算公式：,而,由此得二重积分计算公式：,即化二重积分为二次积分。,类似于前面的方法，可得到二重积分的计算公式：,如果积分区域如右图，则需分割为：,由积分的可加性，得,例1、,例2、,例3、,（1）画出积分区域D。,（2）选择恰当的积分区域类型。,（3）定出积分限，通过二次积分求出二重积分。,投影穿刺法,计算二重积分的一般步骤：,例4、,例5、,例6、交换下列逐次积分的次序。,例7、,例8、,例9、用二重积分求下列曲（平）面所围成立体的体积。,求体积关键：画出投影区域D，想象出曲顶。,例10、求下列积分。,练 习 题,二、利用极坐标计算二重积分,如右图，极坐标下面积元素：,由此得二重积分在极坐标下 的表达式为：,如何定限化二重积分为二次积分？,情形1：特征如下图,积分公式如下：,情形2：特征如右图,积分公式如下：,情形3：特征如右图,积分公式如下：,（1）直角坐标下：,（2）极坐标下：,例1、,例2、,面积公式：,例3、,例4、,例5、,关于积分中对称性的应用：,例6、,例8、,例7、,三、利用换元法计算二重积分,定理：,例1、,例2、,练 习 题,作业 习题7-2（2）：2（1）（3）、3,第一象限区域。,