2020/8/4,(共18页),1,第四节,一元复合函数,求导法则,本节内容:,一、多元复合函数求导法则,二、全微分的形式不变性,微分法则,多元复合函数的求导法则,2020/8/4,(共18页),2,一、多元复合函数求导法则(三种情形),定理. 若函数,处偏导连续,在点 t 可导,则复合函数,证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量,且有链式法则,有增量u ,v ,2020/8/4,(共18页),3,( 全导数公式 ),(t0 时,根式前加“”号),2020/8/4,(共18页),5,又如,当它们都具有可微条件时, 有,注意:,这里,表示固定 y 对 x 求导,表示固定 v 对 x 求导,口诀 :,分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导,与,不同,2020/8/4,(共18页),6,例1. 设,解:,2020/8/4,(共18页),7,例2. 设,求全导数,解:,2020/8/4,(共18页),8,为简便起见 , 引入记号,例3. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,2020/8/4,(共18页),9,二、全微分的形式不变性,设函数,的全微分为,可见无论 u , v 是自变量还是中间变量,则复合函数,都可微,其全微分表达,形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.,2020/8/4,(共18页),10,例1 .,例 4.,利用全微分形式不变性再解例1.,解:,所以,2020/8/4,(共18页),11,内容小结,1. 复合函数求导的链式法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,例如,2. 全微分形式不变性,不论 u , v 是自变量还是因变量,2020/8/4,(共18页),12,思考与练习,1：,分析：,2020/8/4,(共18页),13,2：,分析：,2020/8/4,(共18页),14,3:,分析:,2020/8/4,(共18页),15,3:,.分析:,2020/8/4,(共18页),16,4:,求,分析: 由题设,(2001考研),2020/8/4,(共18页),17,2020/8/4,(共18页),18,作业 P248: 3; 5; 8,