一元二次方程的根与系数的关系,学习目标,探索一元二次方程的根与系数的关系.,不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.,1.一元二次方程的求根公式是什么？,2.如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？,对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a0) b2 - 4ac 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac 0 时,方程无实数根.,复习回顾,思考：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？,解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0.,-4,1,2,3,-1,-3,-4,5,6,a,b,c,1,3,-4,1,-5,6,2,3,1,知识精讲,通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？,思考：你能证明这个结论吗？,知识精讲,ax2+bx+c=0(a0)（b2-4ac0）根据公式法得到两个根为：,知识精讲,一元二次方程的根与系数的关系,如果 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、 x2，那么,【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac0.,知识精讲,例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; （2）2x2 - 3x - 2 = 0.,解： a = 1 , b = 7 , c = 6. = b2 - 4ac = 72 4 1 6 = 25 0. 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.,解： a = 2 , b = -3 , c = -2. = b2 - 4ac = （- 3）2 4 2 (-2) = 25 0. 方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .,典例解析,例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.,解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=7. 答：方程的另一个根是 ，k=7.,典例解析,已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1x2=15= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15.,针对练习,例3：不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、倒数和.,解：设方程的两个根分别是x1 、x2，根据根与系数的关系可知：,典例解析,例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值.,解：由方程有两个实数根，得= 4（k - 1）2 - 4k2 0 即 -8k + 4 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去.,典例解析,总结常见的求值:,【点睛】求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.,归纳总结,1.如果-1是方程2x2x+m=0的一个根，则另一个根是_，m =_.,2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p=_ , q=_ .,1,-2,-3,3.设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: (1)x1+x2=_ ; (2)x1x2=_; (3) _; (4) _.,4,1,14,12,达标检测,4.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.,解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 x1 = x1 =,达标检测,5.设x1,x2是方程3x2 + 4x 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2),解:根据根与系数的关系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2）,达标检测,6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1.,解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,由根与系数的关系，得,达标检测,7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足x1-x2= 1 求m的值.,解：(1)方程有实数根,m的取值范围为m0,(2)方程有实数根x1,x2, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1,解得m=8.,经检验m=8是原方程的解,达标检测,一、一元二次方程的根与系数的关系,【特别强调】满足上述关系的前提条件：b2-4ac0.,如果 ax2+bx+c=0(a0)的两个根为x1、 x2，那么,二、常见的求值应用,小结梳理,