平面曲线的曲率,一、曲率的概念,二、曲率的计算公式,三、参数方程下曲率的计算公式,四、曲率圆、曲率中心,你认为应该如何描述,曲线的弯曲程度 ?,单位弧长上的转角,一、曲率的概念,解,求半径为 R 的圆上任意一点处的曲率 .,如图所示 , 在圆上任取一点 M , 则,故,即圆上点的曲率处处相同：,半径越小的圆 , 弯曲得越厉害 .,解,直线上任意一点处的曲率均为零 .,俗话说 , 直线不弯曲 .,解,会出现导数的分母,为零的情形 ,相同 ,对称 , 故原问题可以转为求曲线,图形关于,将它们代入曲率计算公式中即可得：,三、参数方程下曲率的计算公式,解,哪一点曲率最大 , 哪一点曲率最小 .,利用参数方程求导法求出,故在各象限中,由此可得 :,在有些实际问题中 ,曲率圆,曲率半径,曲率中心,处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度,作其,法线, 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点 Q ,使,以 Q 为中心 , R 为半径所作的圆称为曲线在点,M 处的曲率圆 , 圆心 Q 称为曲率中心 , R 称为,曲率半径 .,三、曲率圆、曲率中心,曲率圆与曲线在点 M 处相切 , 且在点 M 处,两者曲率相同 .,曲率圆与曲线在点 M 处具有相同的一、二,阶导数 . 当讨论曲线在点 M 处与一、二阶,导数有关的局部性质时, 可以通过讨论其相,应的曲率圆的局部性质来实现 .,曲率圆的性质,则曲线在点,曲率中心的坐标,证,则,曲线在点,由于,故有,其斜率为,曲线在点 M 处切线的斜率为,从而 , 有,(1),(2),由 (1) , (2) 两式消去,由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧 , 所以,故对上式两边开方得,由 (2) 式 , 得,画画图更清楚,解,曲率半径、曲率中心和曲率圆方程 .,曲率中心为,曲率圆的方程为,