主 要 内 容,二 重 积 分,定 义,几何意义,性 质,计算法,应 用,二重积分的定义,二重积分的几何意义,当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积,当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值,性质,若在D上,特殊地,则有,性质,性质,二重积分的计算,X型,（）直角坐标系下,Y型,（）极坐标系下,D :,D :,D :,注意：,当被积函数为,积分区域是圆或,圆的一部分时，在极坐标系下化为二次积分， 常可简化计算。,二重积分的应用,(1) 体积,设S曲面的方程为：,曲面S的面积为,(2) 曲面积,(3) 重心,当薄片是均匀的，重心称为形心.,薄片对 z 轴上单位质点的引力,G 为引力常数,(4) 引力,思考与练习,1.,2. 改变下列二次积分的积分次序：,1.,解,D 是 Y型。,将 D 向 y 轴投影。,求交点：,于是，,D 是 X型。,将 D 向 x 轴投影。,得,求交点：,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,于是，,在极坐标系中，D 可表示为,2. 改变下列二次积分的积分次序：,解,(1) 积分区域为,将 D 向 y 轴投影。,积分区域为,将 D 向 x 轴投影,3.,4.,5.,6.,7.,3.,解,D 是 X型。,将 D 向 x 轴投影。,解,先去掉绝对值符号，,4.,5.,解,积分区域为,将 D 向 y 轴投影。,解,6.,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,证,7.,积分区域为,将 D 向 y 轴投影。,8.,10.,9.,8.,解,所求立体可以看成是一个 曲顶柱体，它的曲顶为,底为,于是，,9.,解,平面方程,所求面积,所求面积,10.,解,所求表面分成和，如图。,第一块（ ）在半球面,第一块（ ）在锥面,记为 A。,记为 A 。,由,由,因此，曲面和在 xoy 面上 的投影区域均为圆域：,A的曲面方程为,Dxy 极坐标系下表示：,A,A的曲面方程为,A,A,A,A 的曲面方程为,所求面积 A = A+ A,