第2课时 函数的最大值、最小值,喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落，经历了先“增”后“减”的过程，从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”，让我们来研究,函数的最大值与最小值.,1.理解函数的最大（小）值及其几何意义；(重点） 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；（难点）,【解答】第一个函数图象有最高点A,第二个函数图象有最高点B,也就是说,这两个函数的图象都有最高点. 思考2 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与M的大小关系如何? 【解答】 f(x)M,思考1 这两个函数图象有何共同特征？,函数最大值定义：一般地，设函数y=f(x)的定义 域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的xI，都有_； （2）存在x0I，使得_。 那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值.,请同学们仿此给出函数最小值的定义,f(x)M,f(x0)=M,函数图象最高点处的函数值的刻画：函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值.对于函数f(x)=-x2而言，即对于函数定义域中任意的xR，都有f(x)f(0),函数最大值的“形”的定义：当一个函数的图象有最高点时，我们就说这个函数有最大值.当一个函数的图象无最高点时，我们就说这个函数没有最大值.,观察下列两个函数的图象：,探究点2 函数的最小值,思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？ 提示：函数图象上最低点的纵坐标是所有函数值中的最小值,即函数的最小值.,思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？ 提示：一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果存在x0A,使得对于任意的xA，都有f(x)f(x0) ,那么称f(x0)为函数y=f(x)的最小值，记为ymin=f(x0).,函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定 义域为I，如果存在实数N满足： （1）对任意的 ，都有_； （2）存在 ，使得_. 那么，我们就称N是函数y=f(x)的最小值.,f(x)N,f(x0)=N,函数图象最低点处的函数值的刻画：函数图象在最低点处的函数值是函数在整个定义域上最小的值.对于函数f(x)=x2而言，即对于函数定义域中任意的xR，都有f(x)f(0). 最小值的“形”的定义：当一个函数的图象有最低点时，我们就说这个函数有最小值.当一个函数的图象没有最低点时，我们就说这个函数没有最小值.,对函数最值的理解,1.函数最大值首先应该是某一个函数值，即存在 使得 .并不是所有满足 的函数都有 最大值M.如函数 ,虽然对定义域上 的任意自变量都有 ，但1不是函数的最大值.,2.函数的最值是函数在定义域上的整体性质，即这个函数值是函数在整个定义域上的最大的函数值或者是最小的函数值.,例3.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般 是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高 度h m与时间t s之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18， 那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确到1 m）？,分析：烟花的高度h是时间t的二次函数，根据题意就是求出这个二次函数在什么时刻达到最大值，以及这个最大值是多少.,显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.,解：画出这个函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.,由二次函数的知识，对于函数 我们有：,于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m.,例4.已知函数 ，求函数的最大 值和最小值。,解：设x1,x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2,单调性求最值,所以，函数 是区间2,6上的减函数.,因此，函数 在区间2,6的两个端点上分 别取得最大值与最小值，即在x=2时取得最大值，最 大值是2，在x=6时取得最小值，最小值是0.4.,【提升总结】函数在定义域上是减函数必需进行证明，然后再根据这个单调性确定函数取得最值的点.因此解题过程分为两个部分，先证明函数在2，6上是减函数，再求这个函数的最大值和最小值.,例5 已知函数y=f(x)的定义域是a，b，acb当xa，c时，f(x)是增函数；当xc，b时，f(x)是减函数，试证明f(x)在x=c时取得最大值,【证明】因为当xa，c时，f(x)是增函数，所以对于任意xa，c，都有f(x)f(c).又因为当xc，b时，f(x)是减函数，所以对于任意xc，b，都有f(x)f(c).因此对于任意xa，b,都有f(x)f(c)，即f(x)在x=c时取得最大值,1设二次函数f(x)=x2+4x-3，函数值f(2),f(1), f(-1),f(5)中，最小的一个是( ) A.f(2) B.f(1) C.f(-1) D.f(5) 【解析】由题意知抛物线的对称轴为x=-2， 函数f(x)=x2+4x-3在-2,+)上是增函数，有 f(-1)f(1)f(2)f(5).,C,2. 函数f(x)=x2+4ax+2在区间 (-，6内递减， 则a的取值范围是( ) A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3,D,【解析】二次函数的对称轴为x=-2a 故只需-2a 6,即a-3,3.函数y=x2,x-1，2的最大值为_. 【解析】函数y=x2在-1,0上为减函数，在0,2上为增函数. 当x=-1时，y=1；当x=2时，y=4，所以函数y=x2在x-1,2上的最大值为4.,4,，,，,.,1.函数的最值是函数在其定义域上的整体性质. 2.根据函数的单调性确定函数最值时，如果是一般的函数要证明这个函数的单调性，若是基本的函数可以直接使用函数的单调性. 3.含有字母系数的函数，在求其最值时要注意分情况讨论，画出函数的图象有利于问题的解决.,在科学上进步而道义上落后的人，不是前进，而是后退。 亚里士多德,