三角形的内切圆,27.2与圆有关的 位置关系,确定圆的条件是什么?,由于不共线三点确定一个圆，因此每一个三角形都有且只有一个外接圆，圆心是三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心.外心到三角形三个顶点的距离相等。三角形的外心可能在三角形内(锐角三角形)，可能在三角形的一边上(直角三角形的外心是斜边的中点)，可能在三角形外面(钝角三角形).,如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？,三角形的外接圆在实际中很有用,但还有用它不能解决的问题.如,已知： ABC（如图） 求作：和ABC的各边都相切的圆,作法：1. 作ABC、 ACB的平分线BM和CN，交点为I.,I,D,例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切,分析,2. 过点I作IDBC，垂足为D.,3. 以I为圆心，ID为半径作I.,I就是所求的圆.,D,A,E,B,C,F,O,和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.,读句画图：,作直线m与O相切于点D， 作直线n与O相切于点E， 直线m和直线n相交于点A;,以点O为圆心，1cm为半径画O;,作直线l与圆O相切于点F， 直线l分别与直线m、直线n相交于点B、C.,1.如图1，ABC是O的 三角形。 O是ABC的 圆， 点O叫ABC的 ， 它是三角形 的交点。,外接,内接,外心,三边中垂线,2.如图2，DEF是I的 三角形， I是DEF的 圆， 点I是 DEF的 心， 它是三角形 的交点。,外切,内切,内,三个角平分线,3. 如上图，四边形DEFG是O的 四边形， O是四边形DEFG的 圆.,内切,外切,三角形内心的性质：,1. 三角形的内心到三角形各边的距离相等； 2. 三角形的内心在三角形的角平分线上；,1. 三角形的外心到三角形各个顶点的距离相等； 2. 三角形的外心在三角形三边的垂直平分线上；,三角形外心的性质：,图（1）,图（2）,说出下列图形中圆与四边形的名称,四边形ABCD叫做O的外切四边形,四边形ABCD叫做O的内接四边形,1. 三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等（ ） 2. 三角形的外心到三角形各边的距离相等 （ ） 3. 等边三角形的内心和外心重合； （ ） 4. 三角形的内心一定在三角形的内部（ ）,错,错,对,对,一 判断题：,如图， ABC的顶点在O上， ABC的各边 与I都相切，则ABC是I的 三角形； ABC是O的 三角形； I叫ABC的 圆； O叫ABC的 圆，点I是ABC的 心， 点O是ABC的 心,外切,内接,内切,外接,内,外,二 填空：,（2）若A=80 ，则BOC = 度。 （3）若BOC=100 ，则A = 度。,解:,130,20,（1）点O是ABC的内心，, BOC=180 (1 3),= 180 (25 35 ),=120 ,同理 3= 4= ACB= 70 =35 , 1= 2= ABC= 50= 25,理由： 点O是ABC的内心，, 1 3 = （ABC+ ACB）, 1= ABC， 3= ACB,= 180 （ 90 A ）,= （180 A ）,= 90 + A,= 90 A,答： BOC =90 + A,（4）试探索： A与BOC之间存在怎样的数量关系？请说明理由。,在OBC中，,BOC =180 （ 1 3 ）,如图,O是ABC的内心, BAC与BOC有何数量关系? 试着作一推导.,探讨1：,结论：,1. 本节课从实际问题入手，探索得出三角形内切圆的作法 . 2. 通过类比三角形的外接圆与圆的内接三角形概念得出 三角形的内切圆、圆的外切三角形概念，并介绍了多边形的 内切圆、圆的外切多边形的概念。 3. 学习时要明确“接”和“切”的含义、弄清“内心”与 “外心”的区别， 4. 利用三角形内心的性质解题时，要注意整体思想的运 用，在解决实际问题时，要注意把实际问题转化为数学问题。,课堂小结：,D,例2、如图，一个木摸的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直棱柱圆柱的下底面是圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆已知直三棱柱的底面等边三角形边长为cm，求圆柱底面的半径。,已知：在ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。,A,B,C,F,D,E,x,x,13-x,13-x,9-x,9-x,(13-x)+(9-x)=14,略解：设AFx，则BF=13-x,由切线长定理知:AE=AF=x,BD=BF=13-x, DC=EC=9-x,又BD+CD=14,解得x=4,答：AF=4 BD=9 CE=5,AF=4，BD=9，CE=5,.,A,B,C,a,b,c,r,r =,a+b-c,2,例：直角三角形的两直角边分别是5cm，12cm .则其内切圆的半径为_。,r,O,已知：如图，在RtABC中，C=90，边BC、AC、AB的长分别为a、b、c，求求其内切圆O的半径长。,2,E,D,探讨2： 设ABC 的内切圆的半径为r，ABC 的各边长之和为L，ABC 的面积S,我们会有什么结论? 解:AD+AF+BD+BE+CE+CF=L 2AD+2BE+2CE=L 2AD=L2（BE+CE） AD=F？ ？ ？,C,D,E,F,三角形面积 （L为三角形周长，r为内切圆半径）,r,填空:,1. 三角形的内切圆能作_个,圆的外切三角形有_ 个,三角形的内心在圆的_. 2.如图,O是ABC的内心,则 OA平分_, OB平分_, OC平分_,. (2) 若BAC=100,则BOC=_.,1,无数,内部,BAC,140,ABC,ACB,例3 如图，朱家镇在进入镇区的道路交叉口的三角地处建造了一座镇标雕塑，以树立起文明古镇的形象。已知雕塑中心M到道路三边AC、BC、AB的距离相等，ACBC，BC=30米，AC=40米。请你帮助计算一下，镇标雕塑中心M离道路三边的距离有多远？,雕塑中心M到道路三边的距离相等 点M是ABC的内心， 连结AM、BM、CM，设M的半径为r米， M分别切AC、BC、AB于点D、E、F， 则MDAC， ME BC， MF AB， 则 MD= ME= MF=r， 在Rt ABC 中，AC=40，BC=30， AB=50, ABC的面积为 ACBC = 4030= 600， 又 ABC的面积为 （ACMD+BC ME+AB MF） =20 r+15 r+25 r=60 r 60 r= 600， r=10 答：镇标雕塑中心离道路三边的距离为10米。,解：,思考 三条公路AB、AC、BC两两相交与A、B、C三点（如图所示）。已知ACBC，BC=3千米，AC=4千米。现想在ABC内建一加油站M，使它到三条公路的距离相等，请你帮助计算一下，加油站M应建在离公路多远的地方？,1.如图, ABC 的内心为I,外心为O.,求证:,(2) BOC = 4BIC 360 ,2.如图,I是ABC的内心,连结AI并延长交BC边于点D,交ABC的外接圆于点E.,求证:,(1) EI = EB ;,(2)IE = AE DE .,分析,再见,