第十二节 微分的概念与公式,一、问题的提出,二、微分的定义,三、可微的条件,四、微分的几何意义,五、微分的求法,六、微分形式的不变性,(Conception and Formation of Difference),一、问题的提出,实例：正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题：这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有? 它是什么? 如何求?,由定义知：,三、可微的条件,定理,自变量的微分,导数就是 dy 与 dx 的商称为微商,研究函数,函数的微分,四、微分的几何意义,M,N,）,几何意义：(如图),M,N,）,五、微分的求法,求法：计算函数的导数，乘以自变量的微分。,1. 基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例1,解,例2,解,六、微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,例3,解,在等式左端的括号中填入适当的函数，使等式 成立.,一、计算函数增量的近似值,二、计算函数的近似值,三、误差估计,( Apply of Differential ),第十三节 微分的应用,一、计算函数增量的近似值,例1,解,二、计算函数的近似值,例1,解,常用近似公式,证明,例2,解,重写公式:,三、误差估计,定义：,根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差。,绝对误差：,相对误差：,所产生的,例3,解,小结,微分学所要解决的两类问题：,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,导数与微分的联系：,导数与微分的区别:,